[论文解读] Categorifications of the extended affine Hecke algebra and the affine q-Schur algebra S(n,r) for 2 < r < n

Marco Mackaay, Anne‐Laure Thiel|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文使用图解2-范畴与扩展奇异索eger bimodules，对3 ≤ r < n 的扩展仿射赫盖代数和仿射量子施瓦茨代数bS(n,r)进行了范畴化。它定义了2-范畴U(bsl_n)[y]的y-形变，从图解扩展bimodules到bS(n,r)[y]构造了一个2-函子，并证明了范畴化代数的格罗滕迪克群与bS(n,r)同构，从而在仿射设定下建立了完整的范畴化。

ABSTRACT

We categorify the extended affine Hecke algebra and the affine quantum Schur algebra S(n,r) for 2 < r < n, using Elias-Khovanov and Khovanov-Lauda type diagrams. We also define the affine analogue of the Elias-Khovanov and the Khovanov-Lauda 2-representations of these categorifications into an extension of the 2-category of affine (singular) Soergel bimodules.

研究动机与目标

• 本文旨在将[MSV13]中关于有限型A的范畴化结果扩展到仿射设定。
• 它试图在扩展奇异索eger bimodules上构造仿射量子施瓦茨代数bS(n,r)的2-表示。
• 作者旨在定义从图解2-范畴DEBim*_{bAr-1}到bS(n,r)*[y]的2-函子，并证明其忠实性。
• 一个关键目标是证明范畴化代数bS(n,r)[y]的格罗滕迪克群能恢复原始代数bS(n,r)。
• 本文研究了y-形变2-范畴U(bsl_n)[y]及其卡鲁比包络的结构，证明其为克鲁尔-施密特范畴。

提出的方法

• 作者使用Elias-Williamson与Khovanov-Lauda的图解范畴化技术，为仿射型A定义了2-范畴DEBim*_{bAr-1}。
• 通过在Q[y]上定义齐次2-态射并设定deg(y) = 2，构造了2-范畴U(bsl_n)的y-形变。
• 定义了一个从DEBim*_{bAr-1}到bS(n,r)*[y]的2-函子Σn,r，其忠实性通过图解关系与共轭技巧得以证明。
• 通过在Q[y,x1,...,xr]上的扩展奇异索eger bimodules，构造了2-表示F′: bS(n,r)*[y] → ESBim*_{bAr-1}。
• 2-函子良定义性的证明依赖于通过共轭将bS(n,r)[y]中的关系约化为低颜色情形，并验证次数条件。
• 格罗滕迪克群通过涉及F与F′的交换图计算，且利用理想(y)的虚拟幂零性，将bS(n,r)[y]的K0与bS(n,r)的K0关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将有限型仿射赫盖代数与量子施瓦茨代数的范畴化结果扩展到3 ≤ r < n 的仿射设定？
• RQ2 是否存在一个从图解2-范畴DEBim*_{bAr-1}到y-形变仿射量子施瓦茨代数bS(n,r)*[y]的2-函子，其忠实性成立且可能完全？
• RQ3 bS(n,r)*[y]在扩展奇异索eger bimodules ESBim*_{bAr-1}上的2-表示是否提供了代数结构的几何实现？
• RQ4 范畴化代数bS(n,r)[y]的格罗滕迪克群与原始代数bS(n,r)之间有何关系？
• RQ5 U(bsl_n)的y-形变如何影响克鲁尔-施密特性质及格罗滕迪克群的结构？

主要发现

• 2-函子Σn,r: DEBim*_{bAr-1} → bS(n,r)*[y] 被证明是忠实的，作者猜想其也是完全的。
• 2-函子F′: bS(n,r)*[y] → ESBim*_{bAr-1} 良定义且保持次数，确立了bS(n,r)*[y]的2-表示。
• bS(n,r)[y]的卡鲁比包络的格罗滕迪克群与bS(n,r)同构，证明了bS(n,r)[y]对bS(n,r)的范畴化。
• 在bS(n,r)[y]中由y生成的理想是虚拟幂零的，确保了bS(n,r)[y]的格罗滕迪克群与bS(n,r)的格罗滕迪克群同构。
• 2-范畴U(bsl_n)[y]被证明是克鲁尔-施密特范畴，因其2-同态空间在Q上有限维且deg(y) = 2 > 0。
• 图解2-范畴DEBim*_{bAr-1} 与扩展仿射奇异索eger bimodules的范畴EBim*_{bAr-1} 2-等价，扩展了Elias与Williamson的有限型结果。