[论文解读] Center-Outward Distribution Functions, Quantiles, Ranks, and Signs in $\mathbb{R}^d$

Eustasio del Barrio, Juan A. Cuesta‐Albertos+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2018

Advanced Statistical Methods and Models参考文献 87被引用 8

一句话总结

本文通过最优传输理论，提出了一种新颖的中心向外方法，用于在 $\mathbb{R}^d$ 中定义多变量分布函数与分位数函数，克服了高维空间中缺乏自然排序的问题。该方法在无需矩条件假设的情况下，建立了经验中心向外分布函数的 Glivenko-Cantelli 定理，从而获得严格分布自由的秩与符号统计量，且其为最大充分统计量，可实现有限样本半参数效率。

ABSTRACT

Univariate concepts as quantile and distribution functions involving ranks and signs, do not canonically extend to $\mathbb{R}^d, d\geq 2$. Palliating that has generated an abundant literature. Chapter 1 shows that, unlike the many definitions that have been proposed so far, the measure transportation-based ones introduced in Chernozhukov et al. (2017) enjoy all the properties that make univariate quantiles and ranks successful tools for semiparametric statistical inference. We therefore propose a new center-outward definition of multivariate distribution and quantile functions, along with their empirical counterparts, for which we obtain a Glivenko-Cantelli result. Our approach is geometric and, contrary to the Monge-Kantorovich one in Chernozhukov et al. (2017), does not require any moment assumptions. The resulting ranks and signs are strictly distribution-free, and maximal invariant under the action of a data-driven class of (order-preserving) transformations generating the family of absolutely continuous distributions; that property is the theoretical foundation of the semiparametric efficiency preservation property of ranks. The corresponding quantiles are equivariant under the same transformations. The empirical proposed distribution functions are defined at observed values only. A continuous extension to the entire $\mathbb{R}^d$, yielding continuous empirical quantile contours while preserving the monotonicity and Glivenko-Cantelli features is desirable. Such extension requires solving a nontrivial problem of smooth interpolation under cyclical monotonicity constraints. A complete solution of that problem is given in Chapter 2; we show that the resulting distribution and quantile functions are Lipschitz, and provide a sharp lower bound for the Lipschitz constants. A numerical study of empirical center-outward quantile contours and their consistency is conducted.

研究动机与目标

• 为解决在 $d \geq 2$ 的 $\mathbb{R}^d$ 中定义具有统计意义的多变量分布函数与分位数函数这一长期存在的问题，因高维空间中不存在自然排序。
• 发展单变量秩与符号的多变量扩展，使其保留关键的推断性质——尤其是分布自由性与充分性，以支持半参数推断。
• 在无需矩条件假设的前提下，建立经验中心向外分布函数的 Glivenko-Cantelli 定理。
• 提供经验中心向外分布函数在 $\mathbb{R}^d$ 上的连续、光滑扩展，同时保持单调性与一致性。
• 展示该方法能够通过符号曲线检测复杂结构特征（如不连通支撑），而基于深度的方法则无法捕捉此类特征。

提出的方法

• 利用最优传输理论，特别是 McCann 的位移插值方法，定义 $\mathbb{R}^d$ 中的中心向外分布与分位数函数。
• 通过最优传输将经验测度映射至单位球上的均匀分布，从而构建经验中心向外分布函数。
• 将秩与符号定义为经验测度在逆传输映射下的前向像，以确保其分布自由性。
• 采用光滑插值方法，将经验中心向外函数连续扩展至整个 $\mathbb{R}^d$，同时保持单调性与 Glivenko-Cantelli 性质。
• 利用传输映射的循环单调性，确保中心向外构造的有效性，并推导出有限样本充分性。
• 通过在三角形、正方形及不连通支撑上的均匀分布数值模拟，验证该方法的性能。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 $\mathbb{R}^d$（$d \geq 2$）中定义一种多变量分布函数，使其推广单变量概念的同时，保持分布自由性与充分性等推断性质？
• RQ2 如何构造多变量分位数与秩，使其在 $d=1$ 时与单变量情形一致，且保持分布自由性？
• RQ3 能否构建经验中心向外分布函数在 $\mathbb{R}^d$ 上的连续、光滑扩展，同时保持单调性与一致性？
• RQ4 中心向外符号曲线在多大程度上能够揭示结构特征（如不连通支撑），而这些特征是基于深度的方法所无法捕捉的？
• RQ5 所提出的方法是否能在不依赖矩条件假设的前提下，实现有限样本形式的半参数效率？

主要发现

• 所提出的中心向外分布与分位数函数为严格分布自由，且本质上为最大充分统计量，满足 Basu 条件，从而实现有限样本半参数效率。
• 在无需任何矩条件假设的前提下，建立了经验中心向外分布函数的 Glivenko-Cantelli 定理，这与 Chernozhukov 等人（2017）的前期工作形成对比。
• 经验中心向外分位数轮廓与符号曲线成功揭示了不连通支撑结构，如在两个半球上的模拟中，基于深度的方法失效。
• 该方法生成平滑、嵌套的分位数轮廓，其形状从中心附近的圆形逐渐演化为边界处与支撑形状一致的形态，准确反映了底层几何结构。
• 数值研究表明，即使在非凸或不连通支撑下，中心向外方法仍能提供稳定且具有信息量的多变量数据表示。
• 对比显示，先前工作中采用的 $\alpha$-hull 插值方法会产生不连通轮廓，凸显其局限性，而所提出的连续扩展方法则显著优于之。