[论文解读] Characterizing some rings of finite order

Jutirekha Dutta, Dhiren Kumar Basnet+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Coding theory and cryptography参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过不同中心化子的数量表征有限环，计算了各类环的 |Cent(R)|，并完全分类了 n ≤ 5 的 n-中心化子环。研究结果表明，有限环具有 5 个不同中心化子当且仅当其关于中心的商环同构于 ℤ₃×ℤ₃，且将该计数与交换度 d(R) 联系起来，证明当且仅当 |Cent(R)| = p + 2 时，对于素数幂环有 d(R) = (p² + p − 1)/p³。

ABSTRACT

In this paper, we compute the number of distinct centralizers of some classes of finite rings. We then characterize all finite rings with $n$ distinct centralizers for any positive integer $n \leq 5$. Further we give some connections between the number of distinct centralizers of a finite ring and its commutativity degree.

研究动机与目标

• 基于不同中心化子的数量对有限环进行表征，将群论方法扩展至非交换环。
• 确定哪些有限环恰好具有 n 个不同中心化子（n ≤ 5）。
• 探索有限环的中心化子数量 |Cent(R)| 与交换度 d(R) 之间的关系。
• 在 |Cent(R)| 取较小值（特别是 4 和 5）时，建立 R 的结构条件。
• 通过 R/Z(R) 的结构，对 5-中心化子有限环提供完整分类。

提出的方法

• 将 n-中心化子环定义为恰好具有 n 个不同中心化子的环，即 |Cent(R)| = n。
• 使用中心化子结构 C(r) = {s ∈ R : rs = sr} 和中心 Z(R) = ∩_{r∈R} C(r)。
• 应用群论结果：R 不能是两个真子环的并集，且对于非交换 R，R/Z(R) 不是循环群。
• 利用公式 d(R) = (1/|R|²) Σ_{r∈R} |C(r)|，将中心化子计数与交换度联系起来。
• 通过加法子群的指数和大小约束，界定 |Z(R)| 并推导 R/Z(R) 的可能同构类型。
• 应用 MacHale (1975) 关于交换度界的结果，推导出 |Cent(R)| = p+2 的必要条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些正整数 n，存在恰好具有 n 个不同中心化子的有限环？
• RQ2 有限环恰好具有 4 个不同中心化子的完整分类是什么？
• RQ3 有限环恰好具有 5 个不同中心化子的完整分类是什么？
• RQ4 有限环的中心化子数量 |Cent(R)| 与交换度 d(R) 之间有何关系？
• RQ5 在何种条件下，|Cent(R)| = p+2 蕴含 d(R) = (p² + p − 1)/p³（对于素数幂环）？

主要发现

• 有限环是 1-中心化子环当且仅当它是交换环，即 |Cent(R)| = 1 ⇔ R 是交换环。
• 对于任意素数 p，存在一个 (p+2)-中心化子环，其典型例子是 ℤ_p 上 2×2 上三角矩阵环。
• 有限环恰好具有 4 个不同中心化子当且仅当其交换度为 d(R) = 5/8。
• 有限环恰好具有 5 个不同中心化子当且仅当 R/Z(R) ≅ ℤ₃ × ℤ₃。
• 对于素数幂阶的非交换有限环 R（即 |R| = p^k），有 |Cent(R)| = p+2 当且仅当 d(R) = (p² + p − 1)/p³。
• 逆命题成立：若 d(R) = (p² + p − 1)/p³ 对于 p-群环成立，则 |Cent(R)| = p+2。