[论文解读] Characterizing Symmetric Spaces by their Lyapunov Spectra

Clark Butler|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2017

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 58被引用 6

一句话总结

本文证明了在同伦等价的流形中，闭的负曲率局部对称空间可由其测地流周期轨道的李雅普诺夫谱唯一确定（至等距同构）。通过引入一种新的不变测度——水平测度，并证明其李雅普诺夫谱足以实现局部等距刚性，作者建立了一种类比于曲率钳制刚性的谱特征刻画，通过轨道等价将结果推广至阿诺索夫流。

ABSTRACT

We prove that closed negatively curved locally symmetric spaces are characterized up to isometry among all homotopy equivalent negatively curved manifolds by the Lyapunov spectra of the periodic orbits of their geodesic flows. This is done by constructing a new invariant measure for the geodesic flow that we refer to as the horizontal measure. We show that the Lyapunov spectrum of the horizontal measure alone suffices to locally characterize these locally symmetric spaces up to isometry. We associate to the horizontal measure a new invariant, the horizontal dimension. We tie this invariant to extensions of curvature pinching rigidity theorems for complex hyperbolic manifolds to pinching rigidity theorems for the Lyapunov spectrum. Our methods extend to give a rigidity theorem for smooth Anosov flows $f^{t}$ orbit equivalent to the geodesic flow $g^{t}_{X}$ of a closed negatively curved locally symmetric space $X$: $f^{t}$ is smoothly orbit equivalent to $g^{t}_{X}$ if and only if its Lyapunov spectra on all periodic orbits are a multiple of the corresponding Lyapunov spectra for $g^{t}_{X}$.

研究动机与目标

• 建立闭的负曲率局部对称空间在等距同构下的谱特征刻画。
• 引入并分析水平测度作为测地流的新不变量，其李雅普诺夫谱捕捉了关键的几何信息。
• 将曲率钳制刚性定理推广至复双曲空间及其他对称空间的李雅普诺夫谱设定。
• 证明与测地流轨道等价的光滑阿诺索夫流的刚性定理，表明其李雅普诺夫谱必为原谱的标量倍数。

提出的方法

• 为测地流构造一种新的不变测度，称为水平测度，其在流下不变并捕捉了对称空间的几何结构。
• 定义水平维数为从水平测度的李雅普诺夫谱导出的不变量。
• 利用乘法遍历定理，将李雅普诺夫指数与测地流的周期轨道相关联，这些指数在等距变换下保持不变。
• 通过同步化与共轭映射的光滑性，建立同伦等价流形上测地流之间的流相关共轭。
• 证明由共轭诱导的边界映射关于CC-度量是共形的，从而可提升为对称空间万有覆盖的等距同构。
• 利用测地线上的直线同伦，证明底流形上的诱导映射同伦于一个等距同构，因此根据刚性性质即为等距同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 闭的负曲率局部对称空间是否能通过其测地流周期轨道的李雅普诺夫谱唯一确定（至等距同构）？
• RQ2 水平测度的李雅普诺夫谱是否足以单独刻画此类空间在局部范围内的等距同构类型？
• RQ3 李雅普诺夫谱在多大程度上决定了阿诺索夫流的轨道等价类？
• RQ4 曲率钳制刚性定理能否推广至李雅普诺夫谱设定，而非拓扑熵或体积？

主要发现

• 水平测度的李雅普诺夫谱唯一确定了闭的负曲率局部对称空间的等距同构类型。
• 对于任意闭的负曲率局部对称空间，其测地流的李雅普诺夫谱与不变测度无关，仅依赖于万有覆盖的几何结构。
• 若两个同伦等价的闭负曲率流形在所有周期轨道上具有相同的李雅普诺夫谱，则它们彼此等距。
• 光滑阿诺索夫流 $ f^t $ 与局部对称空间 $ X $ 的测地流 $ g^t_X $ 共轭当且仅当 $ f^t $ 的李雅普诺夫谱是 $ g^t_X $ 的李雅普诺夫谱的标量倍数。
• 测地流之间的共轭诱导出一个关于CC-度量共形的边界映射，因此可提升为万有覆盖的等距同构。
• 由此得到的底流形间的等距同构通过沿测地线的直线同伦与原始共轭同伦，从而确认其为等距同构。