[论文解读] Chebyshev Interpolation for Parametric Option Pricing

Maximilian Gaß, Kathrin Glau+2 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 30被引用 9

一句话总结

本文提出在仿射模型中使用参数空间的切比雪夫插值，以实现高精度、低计算量的参数化期权定价。通过利用张量化切比雪夫多项式，该方法实现了（次）指数收敛速率，并提供了显式的误差界，显著降低了欧式期权和篮子期权的运行时间，同时在各种参数配置下保持了高精度。

ABSTRACT

Recurrent tasks such as pricing, calibration and risk assessment need to be executed accurately and in real-time. Simultaneously we observe an increase in model sophistication on the one hand and growing demands on the quality of risk management on the other. To address the resulting computational challenges, it is natural to exploit the recurrent nature of these tasks. We concentrate on Parametric Option Pricing (POP) and show that polynomial interpolation in the parameter space promises to reduce run-times while maintaining accuracy. The attractive properties of Chebyshev interpolation and its tensorized extension enable us to identify criteria for (sub)exponential convergence and explicit error bounds. We show that these results apply to a variety of European (basket) options and affine asset models. Numerical experiments confirm our findings. Exploring the potential of the method further, we empirically investigate the efficiency of the Chebyshev method for multivariate and path-dependent options.

研究动机与目标

• 应对由于模型复杂性增加和风险管理需求提升而带来的实时金融计算中日益增长的计算负担。
• 为仿射模型及相关模型中的重复参数化期权定价任务开发一种复杂度降低技术。
• 基于切比契夫节点，在参数空间中建立多项式插值的理论收敛速率和误差界。
• 通过数值实验验证该方法在多变量和路径依赖期权中的效率与准确性。

提出的方法

• 将张量化切比雪夫插值应用于将期权价格近似为模型参数的函数，利用切比雪夫多项式的稳定性和收敛性。
• 在每个参数维度上使用切比雪夫节点进行插值，构建一个捕捉期权价格参数依赖性的多项式代理模型。
• 通过参数域的复扩展和以切比雪夫权为度量的 $L^2$-范数，推导出显式误差界，从而在解析性条件下实现次指数收敛。
• 对于每个分量中次数不超过插值次数的多项式，实现精确插值，并通过每维最多为2的界来控制更高次多项式的插值误差。
• 利用插值的张量结构，将一维结果推广至多维参数空间，同时控制误差增长。
• 在仿射跳跃扩散和 Lévy 过程下的欧式期权和篮子期权上对方法进行数值验证，与标准蒙特卡洛和 FFT 方法进行性能比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 在仿射模型中，参数空间的切比雪夫插值能否实现（次）指数收敛于参数化期权定价？
• RQ2 能否为作为模型参数函数的期权价格的切比雪夫插值推导出显式误差界？
• RQ3 与标准定价技术相比，该方法在多变量和路径依赖期权中的实际表现如何？
• RQ4 切比雪夫插值的张量化结构在高维参数空间中在多大程度上保持了精度与效率？

主要发现

• 当期权定价函数在复参数域中为解析函数时，切比雪夫插值可实现（次）指数收敛，收敛速率取决于解析域半径。
• 误差界以期权价格函数的上确界范数和切比雪夫系数的衰减速率表示，每维衰减速率为 $ O(\varrho_i^{-2N_i}) $。
• 对于每个参数中次数不超过 $ N_i $ 的多项式，插值是精确的，确保此类函数无插值误差。
• 对于更高次多项式，插值误差在每维上被统一有界于2，即使函数未被插值次数完全捕获，也能保证稳定性。
• 数值实验验证了该方法的高效性与准确性，与蒙特卡洛和基于FFT的方法相比，在重复定价任务中显著降低了运行时间。
• 该方法在多变量设置中表现出强可扩展性和鲁棒性，误差增长由各维衰减速率的乘积控制。