[论文解读] Chern Character for Global Matrix Factorizations

David J. Platt|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2012

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文通过使用Hochschild同调的Čech模型，为光滑概形 $X$ 上带超势能 $w$ 的全局矩阵分解的导出范畴中的Chern示性类提供了显式公式。关键结果将Chern示性类表达为涉及局部联络与曲率微分的类似曲率表达式的超迹，将经典Chern示性类公式推广至矩阵分解的设定。

ABSTRACT

We give a formula for the Chern character on the DG-category of global matrix factorizations on a smooth scheme $X$ with superpotential $w\in Γ(\mathcal{O}_X)$. Our formula takes values in a Cech model for Hochschild homology. Our methods may also be adapted to get an explicit formula for the Chern character for perfect complexes of sheaves on $X$ taking values in right derived global sections of the De-Rham algebra. Along the way we prove that the DG version of the Chern character coincides with the classical one for perfect complexes.

研究动机与目标

• 计算光滑概形上带超势能的全局矩阵分解的Chern示性类。
• 在Hochschild同调的Čech模型中为Chern示性类提供显式公式。
• 建立在层的导出范畴中边界-体映射与Chern示性类之间的联系。
• 通过局部联络将经典Chern示性类公式推广至矩阵分解的设定。
• 验证DG范畴的Chern示性类与完美复形的经典Chern示性类一致。

提出的方法

• 本文构建了全局矩阵分解DG范畴的Hochschild同调的Čech模型。
• 通过在概形 $X$ 的Čech开覆盖上选择局部联络，定义类似曲率的项 $[\nabla_i, e]$，其中 $e$ 为曲率微分。
• 通过涉及联络差与曲率项幂次的多重线性表达式计算边界-体映射。
• 通过结合Čech上同调、Hochschild同调计算以及De Rham复形的导出整体截面，推导出公式。
• 通过将超迹作用于边界-体映射在恒等元上的取值，得到Chern示性类。
• 通过导出函子性论证，证明该构造与完美复形的经典Chern示性类一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在光滑概形上的全局矩阵分解背景下显式计算Chern示性类？
• RQ2 在层的导出范畴中，边界-体映射与Chern示性类之间存在何种关系？
• RQ3 能否使用Hochschild同调的Čech模型，以联络等局部数据表达Chern示性类？
• RQ4 矩阵分解的DG范畴Chern示性类如何与完美复形的经典Chern示性类关联？
• RQ5 局部联络在此设定下在构造Chern示性类的显式公式中起何种作用？

主要发现

• 全局矩阵分解 $\mathcal{E}$ 的Chern示性类由公式 $$ch(\mathcal{E}) = \mathrm{str}\left(\sum_{p} \sum_{i_0\dots i_p} \sum_{k_j} (-1)^{p + \sum jk_j} \frac{[\nabla_{i_0},e]^{k_0} \cdots [\nabla_{i_p},e]^{k_p}}{(k_0 + \cdots + k_p + p)!} \right)$$ 给出，该公式在 $\mathbb{R}\Gamma(\Omega_{dw})$ 的Čech模型中成立。
• 当矩阵分解在其分次分量上允许全局联络时，该公式有效，从而可使用曲率项 $[\nabla_i, e]$。
• 计算Chern示性类的边界-体映射取值于Hochschild同调的Čech模型，其构造基于局部联络差与曲率项的幂次。
• 通过函子性与导出范畴技术，证明了完美复形的DG版本Chern示性类与经典版本一致。
• 该构造将边界-体映射提升至层的导出范畴，使得Chern示性类可被几何解释为某层复形的整体截面。
• 该公式与DG范畴框架下的Riemann-Roch定理相容，且在给定定义下，Hochschild同调上的配对为自然配对。