[论文解读] Two kinds of derived categories, Koszul duality, and comodule-contramodule correspondence

Leonid Positselski|May 17, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 35被引用 119

一句话总结

本文在DG-代数、DG-余代数和DG-余模的背景下，为两类导出范畴——第一类（标准导出范畴）和第二类（共导出与反导出范畴）——建立了基础框架。证明了科什乌尔对偶与余模-余模对应关系可通过这些导出范畴统一起来，关键结果表明：对于胞状DG-代数，导出、共导出与反导出范畴彼此等价，且在有限上同调维数下，该对应关系成立。

ABSTRACT

This paper can be thought of as an extended introduction to arXiv:0708.3398; nevertheless, most of its results are not covered by loc. cit. We consider the derived categories of DG-modules, DG-comodules, and DG-contramodules, the coderived and contraderived categories of CDG-modules, the coderived categories of CDG-comodules, and the contraderived categories of CDG-contramodules. The equivalence between the latter two categories (the comodule-contramodule correspondence) is established. Nonhomogeneous Koszul duality or "triality" (an equivalence between exotic derived categories corresponding to Koszul dual (C)DG-algebra and CDG-coalgebra) is obtained in the conilpotent and nonconilpotent versions. Various $A_\infty$-structures are considered, and a number of model category structures are described. Homogeneous Koszul duality and $D$-$Ω$ duality are discussed in the appendices.

研究动机与目标

• 通过区分两类导出范畴，解决科什乌尔对偶中谱序列的收敛性问题。
• 通过共导出与反导出范畴建立余模与余模之间的对偶性。
• 通过CDG-结构与A∞-代数，将科什乌尔对偶推广至非非幂零与带曲率的情形。
• 利用模型范畴与同伦代数技术，统一DG-模、余模与余模的导出范畴。
• 证明当CDG-环具有有限上同调维数时，其共导出与反导出范畴重合，尤其在底层自由分次代数的情况下。

提出的方法

• 引入两类导出范畴：标准导出范畴（模掉acyclic复形）与共导出/反导出范畴（模掉具有内射/投射底层模且无微分的复形）。
• 使用完备化与滤子技术以确保谱序列收敛，特别是通过用完备滤子替代不完整滤子。
• 通过一个对偶函子实现余模-余模对应，该函子在有限上同调维数下识别共导出与反导出范畴。
• 在DG-模、CDG-余模与CDG-余模上应用模型范畴结构，以构造同伦范畴并导出导出函子。
• 应用${\rm D}$–$\text{Hom}$对偶与Rees代数技术，证明有界凝聚导出范畴可由滤子模生成。
• 利用遗忘函子与总化构造，将CDG-模的绝对导出范畴与滤子模的有界导出范畴联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 当标准滤子因不完备性而失效时，如何使科什乌尔对偶中的谱序列收敛？
• RQ2 在DG与CDG结构背景下，共导出与反导出范畴之间的确切关系为何？
• RQ3 在何种情况下，DG-代数上DG-模的导出、共导出与反导出范畴重合？
• RQ4 余模-余模对应关系如何推广至带曲率的A∞-余代数与CDG-代数？
• RQ5 在何种条件下，CDG-环的导出范畴与其共导出与反导出范畴重合？

主要发现

• 使用完备滤子时谱序列收敛，且两种可能的完备化方式（无限积与无限直和）导致两个不同的总复形。
• 第一类导出范畴是同伦范畴模掉acyclic复形的商，而第二类导出范畴等价于在忽略微分时为内射或投射的复形的全子范畴。
• 对任意DG-代数，其DG-模的导出、共导出与反导出范畴彼此等价，因为任一DG-代数都与一个胞状代数准同构。
• 当CDG-代数的底层分次代数为自由时，其共导出与反导出范畴重合，且余模-余模对应关系成立。
• ${\rm O}_X$-凝聚CDG-模的绝对导出范畴由滤子模生成，且在幂等完备化下封闭，从而与有界凝聚范畴形成对偶。
• 滤子${\rm D}$-模的Rees代数是诺特环且具有有限上同调维数，因此可用标准滤子模的和来解析有界凝聚滤子模。