[论文解读] Chern characters via connections up to homotopy

Marius Crainic|ArXiv.org|Sep 26, 2000

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 9

一句话总结

本文提出了一种广义框架，通过向量丛的超复形上的同伦型联络计算陈特征，将经典陈特征理论扩展至标准联络之外。核心贡献是通过此类联络的曲率数据，建立一个同伦不变的陈特征形式公式，并应用该框架证明了在李代数丛上同调映射下，差值丛 $\mathfrak{g} - TM$ 的陈特征为零，推广了博特定理。

ABSTRACT

The aim of this note is to point out that Chern characters can be computed using curvatures o ``super-connections up to homotopy'. We also present an application to the vanishing theorem for Lie algebroids which is at the origin of new secondary classes of algebroids (Fernandes), hence, in particular, of Poisson manifolds.

研究动机与目标

• 通过引入同伦型联络，将经典陈特征计算方法推广至标准联络之外。
• 解决李代数丛的伴随表示仅为同伦型表示这一挑战，要求发展广义特征类理论。
• 建立一种利用同伦型联络曲率数据计算陈特征的同伦不变方法。
• 将此框架应用于证明李代数丛上差值丛 $\mathfrak{g} - TM$ 的陈特征在上同调中的零化定理。
• 通过放宽联络公理以允许更高阶同伦修正，扩展奎伦的超联络方法。

提出的方法

• 将同伦型联络定义为满足莱布尼茨法则并与微分 $\partial$ 兼容的线性映射 $\nabla: \mathcal{X}(M) \otimes \Gamma E \to \Gamma E$，但将 $C^\infty(M)$-线性性放松为同伦意义下的成立。
• 引入与此类联络相关的曲率算子 $k_\nabla^p$，其通过联络及其在形式上的作用的超换位子定义。
• 构造陈特征形式 $cs_p(\nabla, \widetilde{\nabla})$ 为曲率幂的超迹之差，确保其为闭形式并代表特征类。
• 证明超迹曲率幂满足同伦关系 $\operatorname{Tr}_s(k_\nabla^p) - \operatorname{Tr}_s(k_{\widetilde{\nabla}}^p) = dcs_p(\nabla, \widetilde{\nabla})$，从而确立陈特征的同伦不变性。
• 在李代数丛上应用该框架，通过在复形 $\mathfrak{g} \to TM$ 上构造一个典范的 $\mathfrak{g}$-同伦型联络，其曲率为零且诱导出所需的上同调零化。
• 利用 $\mathfrak{g}$-版本的陈特征构造方法，证明在 $H^*(\mathfrak{g})$ 中有 $\rho_* Ch(\mathfrak{g} - TM) = 0$，从而证明零化定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用仅在同伦意义下定义的联络而非标准联络来计算陈特征？
• RQ2 同伦型联络的曲率如何与德拉姆上同调中的陈特征相关联？
• RQ3 高阶同伦修正 $H^k(f_1,\dots,f_k,X)$ 在定义一致特征类中起什么作用？
• RQ4 在李代数丛上同调映射 $\rho_*$ 下，差值丛 $\mathfrak{g} - TM$ 的陈特征是否为零？
• RQ5 超联络框架能否扩展以包含同伦修正，同时保持陈特征的同伦不变性？

主要发现

• 超复形 $E = (E^0 \xrightarrow{\partial} E^1)$ 的陈特征可通过同伦型联络的曲率幂的超迹计算。
• 超迹形式之差 $\operatorname{Tr}_s(k_\nabla^p) - \operatorname{Tr}_s(k_{\widetilde{\nabla}}^p)$ 是恰当的，且等于 $dcs_p(\nabla, \widetilde{\nabla})$，从而证明了陈特征的同伦不变性。
• 在复形 $\mathfrak{g} \to TM$ 上存在一个典范的 $\mathfrak{g}$-同伦型联络，其高阶同伦修正 $H(f,X)$ 为零，且曲率为平坦。
• 在映射 $\rho_*: H^*(M) \to H^*(\mathfrak{g})$ 下，差值丛 $\mathfrak{g} - TM$ 的陈特征为零，从而证明了李代数丛的零化定理。
• 该框架通过允许非严格 $C^\infty(M)$-线性性，推广了奎伦的超联络理论，其中高阶同伦修正 $H^k$ 满足更高阶的一致性条件。
• 当复形在子空间 $A \subset M$ 上可缩时，通过限制陈特征形式可得到相对上同调类。