[论文解读] Chern classes from Morava K-theories to $p^n$-typical oriented theories

Pavel Sechin|arXiv (Cornell University)|May 23, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文从代数莫拉瓦K-理论 $K(n)^*$ 构造了到任意 $p^n$-典型定向上同调理论的陈类，证明当系数环是自由 $\mathbb{Z}_{(p)}$-模时，这些陈类自由生成操作。关键贡献在于在 $K(n)^*$ 上引入了一种伽马过滤，其结构类似于经典K-理论的过滤，且到查沃群的陈类在上至余维数 $p^n$ 时是满射，从而实现了对射影齐性齐性空间查沃群中挠群的估计。

ABSTRACT

We study non-additive operations from algebraic Morava K-theories to oriented cohomology theories in algebraic geometry. For oriented cohomology theory $A$ that has a {$p^n$}-typical formal group law over a $\mathbb{Z}_{(p)}$-algebra we construct `Chern classes' from the algebraic $n$-th Morava K-theory with $p$-local coefficients to $A$. If the coefficient ring of $A$ is a free $\mathbb{Z}_{(p)}$-module we also prove that these Chern classes freely generate all operations from $\mathrm{K}(n)$ to $A$. Examples of such theories are algebraic Morava K-theories $\mathrm{K}(nm)^*$ for all $m\in\mathbb{N}$ and Chow groups with $p$-local coefficients. The universal $p^n$-typical oriented theory is $BP\{n\}^*$ whose coefficient ring is also a free $\mathbb{Z}_{(p)}$-module. Chern classes from the $n$-th algebraic Morava K-theory $\mathrm{K}(n)$ to itself allow us to introduce the gamma filtration on $\mathrm{K}(n)$. This is the best approximation to the topological filtration obtained by values of operations and it satisfies properties similar to that of the classical gamma filtration on $\mathrm{K}_0$. The major difference from the classical case is that Chern classes from the graded factors $gr^i_γ\mathrm{K}(n)^*$ to Chow groups with p-local coefficients are surjective for $i\le p^n$, which allows to estimate $p$-torsion in Chow groups of codimension up to $p^n$ of some varieties.

研究动机与目标

• 将卡蒂埃的 $p^n$-典型形式群律推广至 $\mathbb{Z}_{(p)}$-代数，并定义 $p^n$-典型定向上同调理论。
• 从第 $n$ 个代数莫拉瓦K-理论 $K(n)^*$ 构造到任意 $p^n$-典型定向理论的陈类。
• 证明当系数环是自由 $\mathbb{Z}_{(p)}$-模时，这些陈类自由生成操作环。
• 在 $K(n)^*$ 上定义伽马过滤，作为通过陈类的拓扑过滤近似。
• 建立伽马过滤的分次因子到 $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ 的陈类映射的满射性，其中 $i \leq p^n$，从而实现对查沃群中挠群的估计。

提出的方法

• 在 $\mathbb{Z}_{(p)}$-代数上引入 $p^n$-典型形式群律，推广经典 $p$-典型性。
• 通过其关联的形式群律定义 $p^n$-典型定向上同调理论。
• 利用普遍性质和兰德韦伯型形式体系，从 $K(n)^*$ 构造到任意 $p^n$-典型理论的陈类。
• 证明当系数环是自由 $\mathbb{Z}_{(p)}$-模时，这些陈类自由生成操作环。
• 在 $K(n)^*$ 上定义伽马过滤，作为从 $K(n)^*$ 到自身的陈类像所诱导的过滤。
• 利用维什克对加法操作的分类及 $p$-进赋值分析，计算陈类到 $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ 的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从 $K(n)^*$ 构造到任意 $p^n$-典型定向上同调理论的陈类？当系数环是自由 $\mathbb{Z}_{(p)}$-模时，这些陈类是否自由生成操作？
• RQ2 在 $K(n)^*$ 上的伽马过滤与在 $K_0$ 上的经典伽马过滤相比如何？它具有哪些性质？
• RQ3 从 $K(n)^*$ 上伽马过滤的分次因子到 $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ 的陈类映射的像是什么？
• RQ4 在哪些余维数 $i$ 上，陈类映射 $gr^i_\gamma K(n)^* \to \mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ 是满射？
• RQ5 这些陈类的结构能否用于估计射影齐性齐性空间查沃群中上至余维数 $p^n$ 的 $p$-挠群？

主要发现

• 从 $K(n)^*$ 到任意 $p^n$-典型定向理论的陈类被构造出来，且当系数环是自由 $\mathbb{Z}_{(p)}$-模时，它们自由生成操作环。
• 在 $K(n)^*$ 上的伽马过滤通过从 $K(n)^*$ 到自身的陈类像来定义，作为拓扑过滤的近似。
• 对于 $i \leq p^n$，陈类映射 $gr^i_\gamma K(n)^* \to \mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ 是满射。
• 从 $gr^i_\gamma K(n)^*$ 到 $\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)}$ 的第 $i$ 个陈类的像是 $b_i \cdot (\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)})$，其中 $b_i \in p^{\mathbb{N}}$。
• 对于 $i = kp^n + j$ 且 $1 \leq j \leq p^n$ 的情形，像为 $p^k \cdot (\mathrm{CH}^i \otimes \mathbb{Z}_{(p)})$，显示出精确的 $p$-进赋值结构。
• 这些结果使得能够估计射影齐性齐性空间查沃群中上至余维数 $p^n$ 的 $p$-挠群。