[论文解读] Morava K-theory of twisted flag varieties

V. A. Petrov, Nikita Semenov|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 24被引用 9

一句话总结

该论文利用等变定向上同调与Rost动机技术，构建了一个计算扭曲旗流形的莫拉瓦K-上同调的框架。它构造了一个从莫拉瓦K-上同调到查尔上同调的满射、加法性操作，类似于格罗滕迪克K⁰-理论中的第二陈类；并提供了一种算法，通过等变上同调中的不动点计算来计算射影二次曲面的动机，利用Lubin-Tate形式群律与局部化技术。

ABSTRACT

In the present article we prove some results about the Morava K-theory. In particular, we construct an operation from the Morava K-theory to the Chow theory analogous to the second Chern class for Grothendieck's K0-theory. Furthermore, we investigate ordinary and equivariant oriented cohomology theories in the sense of Levine-Morel of projective quadrics, and discuss the Rost motives.

研究动机与目标

• 开发一个计算特征为零的域上扭曲旗流形的莫拉瓦K-上同调的计算框架。
• 构造一个从莫拉瓦K-上同调到查尔上同调的满射、加法性操作，其类比于格罗滕迪克K⁰-理论中的第二陈类。
• 将Rost动机理论推广至莫拉瓦K-上同调与定向上同调的框架下，适用于射影二次曲面。
• 提供一种算法，利用等变技术计算任意定向上同调理论下射影二次曲面的动机。

提出的方法

• 利用代数cobordism的普遍性质，通过高度为n的Lubin-Tate形式群律，将莫拉瓦K-上同调定义为Lazard环的商。
• 应用等变上同调中的局部化定理，计算在环面作用下旗流形与二次曲面的不动点贡献。
• 在定向上同调理论的背景下应用Rost动机构造，将二次曲面的动机分解为更简单的分量。
• 利用等变上同调中的上推公式，特别是通过Atiyah-Bott局部化原理，计算旗流形与二次曲积之间映射的上推。
• 分析Weyl群作用在旗流形与二次曲面上不动点处的权，以确定等变上同调环的结构。
• 应用等变上同调中上推公式的公式（例如公式(6.4)），计算特征类在具有环面作用的空间之间映射下的像。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造一个从莫拉瓦K-上同调到查尔上同调的典范操作，使其推广格罗滕迪克K⁰-理论中的第二陈类？
• RQ2 任意定向上同调理论下射影二次曲面的动机具有何种结构？
• RQ3 Rost动机在莫拉瓦K-上同调与Lubin-Tate形式群律的背景下如何表现？
• RQ4 等变上同调在计算扭曲旗流形与二次曲面的动机中扮演何种角色？
• RQ5 如何系统地利用局部化与不动点数据计算旗流形的莫拉瓦K-上同调？

主要发现

• 构造了一个从莫拉瓦K-上同调到查尔环的满射、加法性操作，模掉由Lubin-Tate形式群律生成的理想，其类比于K⁰-理论中的第二陈类。
• 通过基于等变上同调与不动点数据的算法，计算了任意定向上同调理论下射影二次曲面的动机。
• 通过权与局部化方法，显式计算了映射f: P(τ₂) → OGr(1,2,Q)下类的上推，贡献来自不动点及其法丛。
• 对于点(⟨e₁⟩,⟨e₁⟩) ∈ (Q×Q)^T，上推涉及(l−2)个权的乘积，反映了维数为2l−2的子二次曲面Z的维数。
• 对于(⟨e₁⟩,⟨e₂⟩)的不动点贡献非零，且等于aₗ·(−χ₁−χ₂)；而对于(⟨e₁⟩,⟨e₋₁⟩)的贡献为零，因其在f下无原像。
• 该方法通过覆盖所有W-轨道的不动点，并对每个分量应用局部化公式，成功计算了整个二次曲面的动机。