[论文解读] Classes of Intersection Digraphs with Good Algorithmic Properties

Lars Jaffke, O‐joung Kwon+1 more|arXiv (Cornell University)|May 4, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 40被引用 2

一句话总结

本文引入了 bi-mim-width，即 mim-width 的有向类比，并证明了诸如反射性 H-有向图等各类反射性交集有向图具有有界的 bi-mim-width，从而在给出分支分解的前提下，为 Dominating Set 和 Kernel 等局部可检查问题提供了多项式时间算法。其主要贡献在于为具有有界 bi-mim-width 的有向图建立了一个统一的高效求解框架。

ABSTRACT

An intersection digraph is a digraph where every vertex $v$ is represented by an ordered pair $(S_v, T_v)$ of sets such that there is an edge from $v$ to $w$ if and only if $S_v$ and $T_w$ intersect. An intersection digraph is reflexive if $S_v\cap T_v eq \emptyset$ for every vertex $v$. Compared to well-known undirected intersection graphs like interval graphs and permutation graphs, not many algorithmic applications on intersection digraphs have been developed. Motivated by the successful story on algorithmic applications of intersection graphs using a graph width parameter called mim-width, we introduce its directed analogue called `bi-mim-width' and prove that various classes of reflexive intersection digraphs have bounded bi-mim-width. In particular, we show that as a natural extension of $H$-graphs, reflexive $H$-digraphs have linear bi-mim-width at most $12|E(H)|$, which extends a bound on the linear mim-width of $H$-graphs [On the Tractability of Optimization Problems on $H$-Graphs. Algorithmica 2020]. For applications, we introduce a novel framework of directed versions of locally checkable problems, that streamlines the definitions and the study of many problems in the literature and facilitates their common algorithmic treatment. We obtain unified polynomial-time algorithms for these problems on digraphs of bounded bi-mim-width, when a branch decomposition is given. Locally checkable problems include Kernel, Dominating Set, and Directed $H$-Homomorphism.

研究动机与目标

• 为交集有向图的算法应用开发 mim-width 的有向类比。
• 证明反射性交集有向图类（包括反射性 H-有向图）具有有界的 bi-mim-width。
• 在 bi-mim-width 有界的有向图上，建立统一的框架以解决局部可检查的顶点子集与划分问题。
• 在给定分支分解的前提下，为 Dominating Set、Kernel 和 Directed H-Homomorphism 等问题提供多项式时间算法。
• 识别关于表示计算与 r 次幂 bi-mim-width 边界的相关开放问题。

提出的方法

• 将 bi-mim-width 定义为基于有向割分量（从 A 到 B 与从 B 到 A）中最大诱导匹配的分支宽度度量。
• 引入有向局部可检查问题（LCVS 与 LCVP），其约束条件作用于顶点集内的出邻域与入邻域。
• 证明参数化为 bi-mim-width 的问题可在 O(n^{3drw+2}) 时间内求解，其中 d 为问题复杂度，w 为 bi-mim-width。
• 利用有向图的 r 次幂将距离-r 问题约化为标准问题，利用 bi-mim-width 在 r 次幂下保持稳定的性质。
• 证明反射性 H-有向图的 bi-mim-width 最多为 12|E(H)|，扩展了无向 H-图的已知 mim-width 边界。
• 将现有的 mim-width 的 XP 算法应用于有向情形，适配至新的 bi-mim-width 参数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否定义 mim-width 的有向类比，以实现对交集有向图的高效算法处理？
• RQ2 反射性交集有向图类（如反射性 H-有向图与调整后的区间有向图）是否具有有界的 bi-mim-width？
• RQ3 当 bi-mim-width 有界时，是否可以系统性地统一并多项式时间求解有向图上的局部可检查问题？
• RQ4 bi-mim-width 与有向图的 r 次幂之间存在何种关系，特别是关于宽度保持性？
• RQ5 对于具有有界 bi-mim-width 的类，能否在多项式时间内计算反射性交集有向图的表示？

主要发现

• 反射性 H-有向图的 bi-mim-width 最多为 12|E(H)|，推广了无向 H-图的已知 mim-width 边界。
• 有向 LCVS 与 LCVP 问题（包括 Dominating Set 与 Kernel）可在给定分支分解的有向图上，以 O(n^{3drw+2}) 时间求解，其中 w 为 bi-mim-width。
• 具有 bi-mim-width w 的有向图的 r 次幂，其 bi-mim-width 最多为 rw，从而可高效求解距离-r 变体。
• 为具有有界 bi-mim-width 的反射性交集有向图，建立了一个统一的算法求解框架。
• 本文识别出若干开放问题，包括 r-独立 bi-mim-width 边界的存存性，以及反射性交集有向图的多项式时间表示计算。