[论文解读] Cloaking by anomalous localized resonance for linear elasticity on a coated structure

Kazunori Ando, Hyeonbae Kang+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文通过分析两个同心圆上 Neumann-Poincaré 算子的特征值，研究了在线性弹性力学中，具有正 Lamé 参数内核和负 Lamé 参数壳层的涂层圆形结构中，异常局域共振（CALR）的产生机制。结果表明，CALR 仅当偶极子源位于依赖于几何与材料参数的临界半径内时才会发生，且对于 $ z(c) = k_0 $ 和 $ z(c) = -k_0 $ 两种情形，临界半径不同，其推导基于特征值收敛性的渐近分析。

ABSTRACT

We investigate anomalous localized resonance on the circular coated structure and cloaking related to it in the context of elasto-static systems. The structure consists of the circular core with constant Lamé parameters and the circular shell of negative Lamé parameters proportional to those of the core. We show that the eigenvalues of the Neumann-Poincaré operator corresponding to the structure converges to certain non-zero numbers determined by Lamé parameters and derive precise asymptotics of the convergence. We then show with estimates that cloaking by anomalous localized resonance takes place if and only if the dipole type source lies inside critical radii determined by the radii of the core and the shell.

研究动机与目标

• 研究在壳层具有负 Lamé 参数的涂层圆形结构中，线性弹性力学下异常局域共振（CALR）是否可能发生。
• 确定 CALR 产生的谱条件，重点分析在两个同心边界上 Neumann-Poincaré（NP）算子的特征值。
• 在涂层结构扰动下，推导 NP 特征值收敛至 $ /pm k_0 $ 的精确渐近展开，其中 $ k_0 = \mu / (2(\lambda + 2\mu)) $。
• 基于偶极子源相对于内核与壳层半径的位置，建立 CALR 所需的临界半径。
• 证明 CALR 仅在材料参数 $ c $ 满足 $ z(c) = \pm k_0 $ 时发生，且两种情形下具有不同的临界半径。

提出的方法

• 将涂层结构建模为具有正 Lamé 参数 $ (\lambda, \mu) $ 的圆形内核，外层为具有负 Lamé 参数 $ (c+i\delta)(\lambda, \mu) $ 的同心壳层，其中 $ c < 0 $ 且 $ \delta > 0 $。
• 在壳层边界上定义 Neumann-Poincaré（NP）算子，使用 $ H^{-1/2} $ 内积空间，并通过单层势理论将其表示为分块矩阵。
• 应用扰动理论分析当 $ \delta \to 0 $ 时 NP 特征值的渐近行为，证明其收敛至 $ \pm k_0 $，其中 $ k_0 = \mu / (2(\lambda + 2\mu)) $。
• 利用复势表示与位移场的傅里叶模态分解，推导特征值的渐近展开式。
• 通过在 $ r_e $、$ r_i $ 和 $ |\mathbf{z}| $ 上的级数展开，估计远场弹性场 $ \mathbf{u}^\delta $ 的行为。
• 利用位移矢量的复表示与基本解 $ \Gamma(\mathbf{x}-\mathbf{z}) $，计算边界 $ \Gamma_e $ 上的法向导数，从而导出系数 $ g_{n,j} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有负 Lamé 参数壳层的涂层圆形结构中，线性弹性力学下的异常局域共振（CALR）是否会发生？
• RQ2 当耗散参数 $ \delta \to 0 $ 时，两层圆形结构上 Neumann-Poincaré（NP）算子特征值的渐近行为如何？
• RQ3 在何种材料参数 $ c $ 条件下会发生 CALR？临界半径如何依赖于 $ c $？
• RQ4 为何 $ z(c) = k_0 $ 与 $ z(c) = -k_0 $ 的临界半径不同？这如何反映在 $ \pm k_0 $ 附近不同的谱行为？
• RQ5 NP 特征值收敛至 $ \pm k_0 $ 的渐近行为是否可量化？其如何导致弹性能量 $ E^\delta $ 的发散？

主要发现

• 在涂层结构上，NP 算子的特征值在 $ \delta \to 0 $ 时收敛至 $ \pm k_0 $，其精确渐近行为通过扰动理论推导得出。
• CALR 仅当偶极子源位于临界半径内时发生：当 $ z(c) = k_0 $ 时，临界半径为 $ r_* = r_e^2 / r_i $；当 $ z(c) = -k_0 $ 时，临界半径为 $ r_{**} = \sqrt{r_e^3 / r_i} $，二者不同源于谱聚集速率的差异。
• 当源位于临界半径内时，弹性能量 $ E^\delta = \delta E(\mathbf{u}^\delta) $ 随 $ \delta \to 0 $ 发散，证实了 CALR 的发生。
• 当 $ |\mathbf{x}| > r_e^3 / r_i^2 $ 时，若 $ z(c) = k_0 $，则位移场 $ \mathbf{u}^\delta(\mathbf{x}) $ 在 $ \delta \to 0 $ 时保持一致有界，表明场被局域化在结构附近。
• 当 $ |\mathbf{x}| > r_e^2 / r_i $ 时，若 $ z(c) = -k_0 $，位移场在 $ \delta \to 0 $ 时保持有界，与临界半径 $ r_{**} $ 一致，表明场仅在隐身区域内部局域化。
• 临界半径由单层势的估计导出，表明场的收敛速率依赖于在 $ \pm k_0 $ 处的谱聚集，由于特征值展开中衰减速率不同，该聚集行为呈现非对称性。