[论文解读] Cobordism of singular maps

András Szücs|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Advanced Topics in Algebra参考文献 22被引用 4

一句话总结

本文证明了Kazarian猜想，该猜想将奇异映射的cobordism类的分类空间 $X_{\tau}$ 的同伦型与Kazarian谱序列空间的同调联系起来。研究建立了具有指定稳定奇异型的奇异映射的有理cobordism群与Kazarian空间同调群之间的同构关系，并通过纤维丛构造方法给出了 $X_{\tau}$ 的显式实现，从而能够显式计算cobordism群的秩以及消除奇异型的障碍。

ABSTRACT

We prove a conjecture due to M. Kazarian, connecting two classifying spaces in singularity theory. These spaces are: - Kazarian's space (generalizing Vassiliev's algebraic complex and) showing which cohomology classes are represented by singularity strata. - Author's space $X_τ$ giving homotopy representation of cobordisms of singular maps with a given list of allowed singularities \cite{R--Sz}. As a consequence we obtain the ranks of cobordism groups of singular maps with a given list of allowed singularities, and also their $p$-torsion parts for big primes $p.$ Further we give complete answer to the problem of elimination of singularities by cobordisms. Obtain very clear homotopical description of the classifying space $X_τ.$ We reveal some connection of the torsion parts of these cobordism groups to the stable homotopy groups of spheres and values of Thom polynomials.

研究动机与目标

• 建立奇异映射的cobordism分类空间 $X_{\tau}$ 与Kazarian谱序列空间之间的同伦等价关系。
• 计算具有固定稳定奇异型列表的映射的有理与 $p$-挠部分的cobordism群。
• 为通过cobordism消除奇异型提供完整的障碍理论。
• 将经典cobordism定理（如Pontrjagin-Thom与Conner-Floyd）推广至奇异映射。
• 将 $X_{\tau}$ 构造为迭代纤维丛，从而从浸入的cobordism群得到一个从浸入到奇异映射cobordism群的谱序列。

提出的方法

• 使用Pontrjagin-Thom构造，将奇异映射的cobordism与带过滤的谱的同伦群联系起来。
• 将不稳定Kazarian空间 ${\mathcal{K}}^{co}_{\tau}(n)$ 定义为 $B(SO_n \times SO_{n+k})$ 上的丛，利用一个共定向群作用 $H_n$。
• 将稳定Kazarian空间 ${\mathcal{K}}_{\tau}$ 定义为当 $n \to \infty$ 时 ${\mathcal{K}}^{co}_{\tau}(n)$ 的上包络，证明其可分解为每个奇异型 $\eta \in \tau$ 对应的 $BG_\eta$ 分量。
• 证明 $X_{\tau}$（即 $\tau$-映射cobordism的分类空间）与 ${\mathcal{K}}_{\tau}$ 同伦等价，通过有理同调中的Hurewicz型同构实现。
• 利用 $X_{\tau}$ 的纤维丛结构，导出一个从浸入的cobordism群出发、收敛到奇异映射cobordism群的谱序列。
• 将该理论应用于Morin映射（即余维1奇异型），显式计算其cobordism群的秩。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有固定稳定奇异型列表的奇异映射的cobordism群与Kazarian谱序列空间的同调之间有何关系？
• RQ2 奇异映射的cobordism分类空间 $X_{\tau}$ 是否可描述为纤维丛？其同伦结构如何？
• RQ3 通过cobordism消除奇异型的完整障碍是什么？
• RQ4 经典cobordism定理（如Pontrjagin-Thom与Conner-Floyd）在多大程度上可推广至奇异映射？
• RQ5 对于Morin映射（即仅含余维1奇异型的映射）以及一般 $\tau$-映射，其cobordism群的显式秩是多少？

主要发现

• 具有给定稳定奇异型列表的奇异映射的有理cobordism群与相应Kazarian空间 $\mathcal{K}_\tau$ 的同调群同构。
• 对于所有满足 $p > \frac{1}{2} \dim M$ 的素数 $p$，$\tau$-映射的cobordism群的 $p$-挠部分与 $H_*(\mathcal{K}_\tau; \mathbb{Z})$ 的同调群的 $p$-挠部分一致。
• 对于所有Morin映射（即仅含余维1奇异型的映射），其cobordism群的秩可通过 $\mathcal{K}_\tau$ 的贝蒂数显式计算。
• $\tau$-映射的cobordism分类空间 $X_\tau$ 被实现为迭代纤维丛，从而得到一个从浸入的cobordism群到奇异映射cobordism群的谱序列。
• 从 $X_\tau$ 的同伦型出发，推导出一个完整且可计算的障碍集，用于通过cobordism消除奇异型。
• 稳定Kazarian空间 $\mathcal{K}_\tau$ 可分解为每个 $\eta \in \tau$ 对应的 $BG_\eta$ 的不相交并集，其中 $G_\eta$ 是奇异型 $\eta$ 的根芽的自同构群。