[论文解读] Cobordism theory and localization formulas for Hamiltonian group actions

Viktor L. Ginzburg, Victor Guillemin+1 more|ArXiv.org|Jan 12, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用 13

一句话总结

本文证明，具有孤立不动点的哈密顿 $T$-空间与由其不动点数据导出的加权射影空间的不相交并集在分 bordism 意义下等价。利用 bordism 理论，作者推导出杜斯特马特-赫克曼测度、杰弗里-基尔万定理以及几何量子化的局部化公式，为辛几何与李表示论中的不变量计算提供了拓扑框架。

ABSTRACT

We announce the following result and give several applications: A Hamiltonian $T$-space (for $T$ a torus) with isolated fixed points is cobordant to a disjoint union of weighted projective spaces which are constructed from its fixed point data. The applications concern the Duistermaat-Heckman formula, the topological Jeffrey-Kirwan localization theorem, and geometric quantization.

研究动机与目标

• 通过其不动点数据，对具有孤立不动点的哈密顿 $T$-空间建立 bordism 分类。
• 为推导辛几何与李表示论中的局部化公式，建立一个拓扑框架。
• 通过 bordism 不变量，将杜斯特马特-赫克曼公式与杰弗里-基尔万局部化定理联系起来。
• 将 bordism 技术应用于几何量子化，特别是用于计算量子不变量。
• 证明哈密顿 $T$-空间的拓扑结构可通过 bordism 等价性约化为加权射影空间。

提出的方法

• 使用等变 bordism 理论，对具有孤立不动点的哈密顿 $T$-空间进行分类。
• 从 $T$-作用的不动点数据（权重与子群表示）构造加权射影空间。
• 在原始哈密顿 $T$-空间与这些加权射影空间的不相交并集之间建立 bordism 等价关系。
• 将 bordism 等价关系应用于推导对辛商空间上积分的局部化公式。
• 利用特征类的 bordism 不变量性质，计算杜斯特马特-赫克曼测度等不变量。
• 利用 bordism 类的拓扑结构，推导出几何量子化与杰弗里-基尔万定理的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否仅通过其不动点数据，对具有孤立不动点的哈密顿 $T$-空间进行 bordism 分类？
• RQ2 如何利用 bordism 理论推导辛几何中积分的局部化公式？
• RQ3 杜斯特马特-赫克曼测度与哈密顿 $T$-空间的 bordism 类之间有何关系？
• RQ4 杰弗里-基尔万局部化定理如何从 bordism 理论构造中自然导出？
• RQ5 能否通过与加权射影空间的 bordism 等价性来计算几何量子化的不变量？

主要发现

• 具有孤立不动点的哈密顿 $T$-空间与由其不动点权重构造的加权射影空间的不相交并集在 bordism 意义下等价。
• 哈密顿 $T$-空间的 bordism 类完全由其不动点数据（包括子群表示）决定。
• 杜斯特马特-赫克曼测度可通过由 bordism 等价性导出的局部化公式计算。
• 杰弗里-基尔万局部化定理作为 residue 公式 bordism 不变量的推论被重新获得。
• 几何量子化不变量被证明可通过 bordism 类计算，从而将问题约化为加权射影空间。
• 本文为辛几何中的局部化技术提供了拓扑统一，将不动点数据与全局不变量联系起来。