[论文解读] Cobordisms of maps with singularities of a given class

Yoshifumi Ando|ArXiv.org|Jul 30, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 30被引用 6

一句话总结

该论文在相对 h-原理的假设下，建立了从闭 n-流形到 p-流形 P 的光滑映射的 cobordism 类的同伦论分类，其奇点属于指定类型。结果表明，此类映射的定向 cobordism 群同构于某个特定 Thom 空间构造的稳定同伦群，推广了已知的折痕映射结果，并将其与球面的稳定同伦群联系起来。

ABSTRACT

Let P be a connected smooth p-manifold. We describe the group of all cobordism classes of smooth maps of n-manifolds to P with singularities of a given $cal K$-invariant class in terms of certain stable homotopy groups by applying the relative homotopy principle on the existence level. We also deal with the oriented version and construct a classifying space to which this oriented cobordism group is represented as the set of homotopy classes of P in the codimension n

研究动机与目标

• 使用稳定同伦群描述给定奇点类的光滑映射 cobordism 类群。
• 通过构造定向 cobordism 群的分类空间，将分类结果推广至定向情形。
• 在 h-原理假设下，建立 cobordism 群与稳定同伦群之间的同构关系。
• 推广已知的折痕映射结果，并将其与球面的稳定同伦群联系起来。

提出的方法

• 利用相对 h-原理（h-P）将喷丛的截面与具有指定奇点类型的实际光滑映射联系起来。
• 应用喷丛构造 $ J^k(N,P) $，并通过 $ J^k(n,p) $ 中的开不变子集 $ \Omega \subset $ 定义 $ \theta $-正则映射。
• 将分类空间 $ B_V $ 构造为映射到 Grassmannian 线丛的 Thom 空间的连续映射的列极限。
• 运用 Thom-Pontryagin 构造和对偶映射，将 cobordism 类与稳定同伦群联系起来。
• 利用 Thom 空间 $ T(\widehat{\gamma}_{G_{n-p+1}}^\ell) \wedge T(\nu_P) $ 的稳定同伦群对 cobordism 群进行分类。
• 应用 [3,4,6] 中的已知结果，验证特殊情形下的同构关系，例如 $ \mathfrak{O}(n,S^n;\Omega^{1,0};0) \cong \pi_n^s $。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过稳定同伦群描述给定奇点类的映射 cobordism 群？
• RQ2 此类映射的定向 cobordism 群的结构是什么？它如何通过分类空间实现？
• RQ3 在何种条件下，相对 h-原理意味着每个形式截面同伦于一个真正的 $ \Omega $-正则映射？
• RQ4 奇点类的包含关系如何影响所得的 cobordism 群，特别是与球面的稳定同伦群的关系如何？
• RQ5 映射的 cobordism 类与奇点集的拓扑之间存在何种关系，特别是对于 $ \pi_n^s $ 中的非零元素？

主要发现

• 定向 cobordism 群 $ \mathfrak{O}(n,P;\Omega,\Omega_\star) $ 同构于稳定同伦群 $ \pi_{n+\ell}^{s}(T(\widehat{\gamma}_{G_{n-p+1}}^\ell) \wedge T(\nu_P)) $，该同构通过分类空间 $ B_V $ 实现。
• 当 $ P = S^n $ 时，度数为零的映射群 $ \mathfrak{O}(n,S^n;\Omega^{1,0};0) $ 同构于第 $ n $ 个稳定同伦群 $ \pi_n^s $，推广了 Chess 的结果。
• 包含映射 $ \Omega^{1,0}(n,n) \to \Omega(n,n) $ 诱导同态 $ \mathfrak{i}_\Omega: \pi_n^s \to \mathfrak{O}(n,S^n;\Omega) $，且非平凡元素的支撑与 $ \mathcal{K} $-不变开子集 $ U(a) \subset J^k(n,n) $ 相关。
• 证明了分类空间 $ B_V $ 的构造通过映射到 Thom 空间的连续映射的列极限，表示了 cobordism 群。
• 建立了同构 $ \mathfrak{O}(n,P;\Omega^{1,0}) \cong [P,F] $，其中 $ F $ 是引言中定义的空间，将 cobordism 与映射空间联系起来。
• 本文证明了 h-原理（h-P）允许将形式解实现为实际的 $ \Omega $-正则映射，从而实现了同伦论的分类。