[论文解读] Cohomology rings of good contact toric manifolds

Shisen Luo|arXiv (Cornell University)|Dec 10, 2010

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 22被引用 8

一句话总结

本文利用其矩锥的组合数据，计算了良好接触型环面流形的等变上同调环与奇异上同调环。研究结果表明，上同调环同构于多项式环模由锥体的本原法向量导出的线性与二次关系生成的理想，将辛环面几何中的方法扩展至接触几何设定，且在光滑性条件下成立。

ABSTRACT

A good contact toric manifold $M$ is determined by its moment cone $C$. We compute the equivariant cohomology ring with $\Z$ coefficient of $M$ in terms of the combinatorial data of $C$. Then under a smoothness criterion on the cone $C$, we compute the singular cohomology ring with $\Z$ coefficient of $M$ in terms of the combinatorial data of $C$.

研究动机与目标

• 利用矩锥的组合结构确定良好接触型环面流形的等变上同调环。
• 在矩锥满足光滑性条件的前提下，计算其整系数奇异上同调环。
• 将辛环面几何中的技术方法，特别是Davis-Januszkiewicz的方法，推广至接触几何设定。
• 证明良好接触型环面流形的上同调生成元与先前关于辛环面流形研究中使用的生成元一致。
• 建立上同调结构为等变同胚不变量，从而实现组合分类。

提出的方法

• 利用矩锥的组合数据构建良好接触型环面流形的拓扑模型，其构造方式与Davis-Januszkiewicz对环面流形的构造类似。
• 使用Borel构造将等变上同调定义为空间 $ET^n \times_{T^n} M$ 的上同调，系数为 ℤ。
• 应用陈类映射，将等变上同调生成元 $x_i$ 与 $BT^n$ 上的典范线丛的一阶陈类相关联。
• 施加光滑性条件：矩锥与超平面 $x_n = 1$ 的交集必须为Delzant多面体，且本原法向量在 $\mathbb{Z}^{n-1}$ 上的投影必须为本原向量。
• 建立流形上同调环与多项式环商环之间的同构关系，其中理想由锥体数据导出的线性与二次关系生成。
• 利用不同模型间等变上同调环的拉回映射图验证生成元的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅通过矩锥的组合数据表达良好接触型环面流形的等变上同调环？
• RQ2 在何种条件下，此类流形的奇异上同调环可由相同的组合数据呈现？
• RQ3 良好接触型环面流形的上同调生成元与辛环面流形的生成元在多大程度上一致？
• RQ4 良好接触型环面流形的上同调结构是否完全由其矩锥决定，模等变同胚？
• RQ5 矩锥的光滑性条件是否能保证上同调环同构于标准多项式商环？

主要发现

• 等变上同调环 $H^*_{T^n}(M; \mathbb{Z})$ 同构于 $\mathbb{Z}[x_1, \dots, x_m] / I$，其中 $I$ 是由矩锥的面及其法向量导出的线性与二次关系生成的理想。
• 在光滑性条件下，奇异上同调环 $H^*(M; \mathbb{Z})$ 同构于 $\mathbb{Z}[x_1, \dots, x_m] / J$，其中 $J$ 为与等变情形相同的理想，再模去Reeb作用的欧拉类生成的理想。
• 上同调环的生成元与本文定理4.4及文献[_TW_]中定理7所用生成元一致，确认与辛环面几何中先前结果的一致性。
• 假设矩锥除去原点后位于上半空间 $x_n > 0$ 并不损失一般性，因为任一此类流形均与满足该条件的流形等变同胚。
• 上同调环结构是等变同胚不变量，因此整个上同调数据均编码于矩锥的组合类型之中。
• 本文确认，在光滑性条件下，良好接触型环面流形的上同调环完全由其各面的本原内法向量决定。