[论文解读] Coinductive Streams in Monoidal Categories

Earnshaw, Matthew, Sobociński, Paweł|arXiv (Cornell University)|Dec 30, 2022

Logic, programming, and type systems参考文献 83被引用 2

一句话总结

本文将幺半群流（monoidal streams）引入为因果流函数在任意对称幺半群范畴上的推广，从而为具有任意过程（如概率性、量子性或含副作用的）数据流编程提供语义。它将幺半群流确立为具有反馈的幺半群范畴，并证明其构成终余代数，通过共归纳推理与共端（coends）统一了信号流图与共归纳弦图（coinductive string diagrams）。

ABSTRACT

We extend the theory of formal languages in monoidal categories to the multi-sorted, symmetric case, and show how this theory permits a graphical treatment of topics in concurrency. In particular, we show that Mazurkiewicz trace languages are precisely symmetric monoidal languages over monoidal distributed alphabets. We introduce symmetric monoidal automata, which define the class of regular symmetric monoidal languages. Furthermore, we prove that Zielonka’s asynchronous automata coincide with symmetric monoidal automata over monoidal distributed alphabets. Finally, we apply the string diagrams for symmetric premonoidal categories to derive serializations of traces.

研究动机与目标

• 将数据流编程的语义从笛卡尔幺半群范畴推广至任意对称幺半群范畴。
• 为幺半群流在良好行为的幺半群范畴中作为终余代数提供范畴论基础。
• 通过具有反馈的幺半群范畴统一信号流图与共归纳弦图。
• 通过共归纳与基于共端的构造，将概率性流表征为因果随机过程。
• 通过自然性（dinaturality）与共端，将有状态序列从笛卡尔范畴推广至幺半群设定。

提出的方法

• 在对称幺半群范畴中，使用共归纳推理将幺半群流定义为终余代数。
• 引入了意向性（intensional）、自然性（dinatural）与观测性（observational）三种幺半群流变体，以捕捉不同层次的过程等价性。
• 利用共端与自然性形式化观测等价性与普遍性质。
• 将幺半群流构造为具有反馈的幺半群范畴，将信号流图推广至任意过程理论。
• 将该框架应用于随机过程，表明幺半群流可捕捉受控随机过程。
• 使用共归纳弦图作为推理幺半群流中反馈的正式语法。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将数据流编程的语义从笛卡尔范畴推广至任意对称幺半群范畴？
• RQ2 幺半群流背后的范畴结构是什么？它们如何支持反馈与递归？
• RQ3 如何利用共端与自然性表征幺半群流的观测等价性？
• RQ4 幺半群流如何将因果函数与有状态序列推广至非笛卡尔设定？
• RQ5 幺半群流能否为随机数据流编程提供语义？若能，其机制如何？

主要发现

• 幺半群流构成具有反馈的幺半群范畴，将信号流图推广至任意过程理论。
• 幺半群流是在良好行为的对称幺半群范畴中的终余代数，提供普遍语义。
• 该构造在随机函数范畴中将因果随机过程作为特例捕捉。
• 自然性与共端提供了一种精炼的不动点方程，从而为幺半群流的观测等价性提供依据。
• 该框架将笛卡尔因果流与有状态序列推广至非笛卡尔幺半群范畴。
• 该方法通过同一范畴基础，支持量子、线性及含副作用的数据流编程的语义。