[论文解读] Colour-biased Hamilton cycles in random graphs

Lior Gishboliner, Michael Krivelevich+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2020

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 26被引用 6

一句话总结

该论文证明，在随机图 $G(n,p)$ 中，当 $p$ 超过哈密顿性阈值时，任意 $r$-边染色均保证存在一条哈密顿圈，其单色边数至少为 $(2/(r+1) - o(1))n$。该结果在渐近意义下最优，依赖于伪随机性性质及稀疏随机图中的路径扩展技术。

ABSTRACT

We prove that a random graph $G(n,p)$, with $p$ above the Hamiltonicity threshold, is typically such that for any $r$-colouring of its edges there exists a Hamilton cycle with at least $(2/(r+ 1)-o(1))n$ edges of the same colour. This estimate is asymptotically optimal.

研究动机与目标

• 确定在 $G(n,p)$ 的任意 $r$-边染色下，哈密顿圈中必然存在的同色边的最小数量。
• 证明该最小值在渐近意义下最优，与已知的上界构造相匹配。
• 展示在超过哈密顿性阈值的 $G(n,p)$ 中，哈密顿圈的丰富结构可确保单色边的强集中性。
• 将分析扩展至完美匹配，表明其具有类似的最优界：单色边占 $1/(r+1)$ 的比例。

提出的方法

• 利用 $p$ 超过哈密顿性阈值时 $G(n,p)$ 的伪随机性性质，结合伪随机图理论的成果。
• 应用基于顶点划分的路径扩展技术：将大小 $\leq \varepsilon n$ 的小集合 $V^*$ 分离出来，然后在剩余部分 $V'$ 上寻找长单色路径。
• 采用旋转-扩展方法，将 $G[V']$ 中的短路径扩展为 $G$ 中的完整哈密顿圈，同时保持单色结构。
• 反向使用偏差型论证：不追求颜色平衡，而是保证哈密顿圈中某种颜色的边显著占优（即存在大量同色边）。
• 构造一种特定的 $r$-染色，使得任意哈密顿圈中任一颜色的边数不超过 $n/(r+1)$，从而证明结果的紧致性。
• 利用集中与伪随机性结果（例如引理 3.4 和定理 3.1），确保子图中存在长单色路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p$ 超过哈密顿性阈值时，在 $G(n,p)$ 的任意 $r$-边染色下，哈密顿圈中必然存在的同色边的最大数量是多少？
• RQ2 哈密顿圈中单色边数的上界 $2n/(r+1)$ 是否在渐近意义下最优？
• RQ3 稀疏随机图中哈密顿圈的丰富结构能否被利用，以保证单色边的集中程度超过期望值？
• RQ4 对于完美匹配，是否存在类似的单色保证？若是，单色边的最优比例是多少？
• RQ5 能否利用 $G(n,p)$ 的伪随机性性质，将短单色路径扩展为完整哈密顿圈，同时保持颜色集中性？

主要发现

• 当 $p \geq (\log n + \log \log n + \omega(1))/n$ 时，whp 每个 $r$-边染色的 $G(n,p)$ 均包含一条哈密顿圈，其单色边数至少为 $(2/(r+1) - o(1))n$。
• 上界 $2/(r+1)$ 在渐近意义下最优，因为存在一种 $r$-染色，使得任意哈密顿圈中任一颜色的边数均不超过 $n/(r+1)$。
• 该结果可推广至完美匹配：当 $p \geq (\log n + \omega(1))/n$ 时，whp 存在一个完美匹配，其同色边数至少为 $(1/(r+1) - o(1))n$。
• 即使哈密顿圈的数量较少，此类单色圈的存在性仍可通过伪随机性与路径扩展技术保证。
• 证明依赖于将一个大小 $\leq \varepsilon n$ 的异常集合 $V^*$ 分离出来，并在其余部分构造一条长单色路径，再将其扩展为哈密顿圈。
• 相同框架可导出完美匹配的紧致界，最优比例为 $1/(r+1)$，与已知极值构造一致。