[论文解读] Combinatorial representations of Coxeter groups over a field of two elements

Hau-Wen Huang, Chih-wen Weng|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 8被引用 14

一句话总结

本文通过在Dynkin图上建立一个翻转谜题模型，将单连通的Coxeter群（A、D、E型）在有限域𝔽₂上构造为组合表示。每个生成元被赋予一个作用于𝔽₂ⁿ上的可逆矩阵。关键结果是该Vogan表示的核恰好等于群的中心，且对每种类型，群作用下𝔽₂ⁿ的轨道被完全分类。

ABSTRACT

Let $W$ denote a simply-laced Coxeter group with $n$ generators. We construct an $n$-dimensional representation $ϕ$ of $W$ over the finite field $F_2$ of two elements. The action of $ϕ(W)$ on $F_2^n$ by left multiplication is corresponding to a combinatorial structure extracted and generalized from Vogan diagrams. In each case W of types A, D and E, we determine the orbits of $F_2^n$ under the action of $ϕ(W)$, and find that the kernel of $ϕ$ is the center $Z(W)$ of $W.$

研究动机与目标

• 通过在Dynkin图上基于组合翻转谜题，定义在两个元素的域上对单连通Coxeter群的忠实矩阵表示。
• 确定由这些矩阵诱导的群作用在𝔽₂ⁿ上的结构。
• 对Aₙ、Dₙ和Eₙ型，分类翻转群φ(W)在𝔽₂ⁿ上的轨道。
• 识别表示的核，并证明其等于Coxeter群W的中心。

提出的方法

• 将Coxeter群的每个生成元s与𝔽₂上的n×n可逆矩阵𝔰关联，定义为𝔰ᵤᵥ = 1当且仅当u=v，或v=s且(u,v)是Dynkin图中的一条边。
• 将翻转群𝔚定义为GLₙ(𝔽₂)中由这些矩阵𝔰（s ∈ S）生成的子群。
• 将映射s ↦ 𝔰提升为同态φ: W → GLₙ(𝔽₂)，称为Vogan表示。
• 利用W的有限性及矩阵群计算，确定像φ(W)的大小与结构。
• 分析φ(W)在𝔽₂ⁿ上的作用，以分类群作用的轨道。
• 证明φ在某些抛物子群上的限制是单射，并通过群阶比较计算核。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单连通Dynkin图上的翻转谜题诱导的群作用在𝔽₂ⁿ上的结构是什么？
• RQ2 对Aₙ、Dₙ和Eₙ型，𝔽₂ⁿ在翻转群φ(W)作用下的轨道如何分解？
• RQ3 Vogan表示φ的核是否等于Coxeter群W的中心Z(W)？
• RQ4 在哪些类型下Vogan表示是不可约的？不可约性与群的结构有何关联？
• RQ5 E₈的翻转群的大小与轨道结构是什么？其与原群相比如何？

主要发现

• 对于Aₙ型，当且仅当n = 1或n为偶数时，表示φ是不可约的；否则为可约。
• 当n > 1且n为奇数时，φ的核是平凡的；当n = 1时，核的阶为2。
• 对于Dₙ型（n ≥ 4），当n为偶数时φ的核阶为2，当n为奇数时核为平凡。
• 对于E₆，表示φ是不可约的，且核为平凡。
• 对于E₇，表示φ是可约的，且核的阶为2。
• 对于E₈，表示φ是不可约的，且核的阶为2，等于中心Z(W)。