[论文解读] Geometric representations of Coxeter groups with respect to asymmetric bilinear forms

Robert G. Donnelly|arXiv (Cornell University)|Jul 23, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 1被引用 1

一句话总结

本文通过非对称双线性型研究考克斯eter群的非对称几何表示，将标准表示推广至包含卡克斯–莫迪威尔群的范畴。基于与考克斯eter图相关的图，提供了组合特征刻画：何时多个根是根，以及何时群元素将有限多个正根映射为负根，从而将对称情形的结果推广至非对称设置。

ABSTRACT

Results are obtained concerning the roots of asymmetric geometric representations of Coxeter groups. These representations were independently introduced by Vinberg and Eriksson, and generalize the standard geometric representation of a Coxeter group in such a way as to include all Kac--Moody Weyl groups. In particular, a characterization of when a non-trivial multiple of a root may also be a root is given in the general context. Characterizations of when the number of such multiples of a root is finite and when the number of positive roots sent to negative roots by a group element is finite are also given. These characterizations are stated in terms of combinatorial conditions on a graph closely related to the Coxeter graph for the group. Other finiteness results for the symmetric case which are connected to the Tits cone and to a natural partial order on positive roots are extended to this asymmetric setting.

研究动机与目标

• 将考克斯eter群对称几何表示中的有限性结果推广至使用非对称双线性型的非对称情形。
• 刻画在非对称几何表示中，根的非平凡倍数为何仍为根的条件。
• 确定群元素将正根映射为负根的有限性所依赖的组合条件。
• 将涉及蒂茨锥与正根上偏序关系的对称情形结果推广至非对称设置。
• 建立与考克斯eter图相关的图的结构和根系有限性性质之间的联系。

提出的方法

• 利用非对称双线性型定义考克斯eter群的几何表示，推广标准对称情形。
• 引入一个与考克斯eter图密切相关、用于编码根系结构相关组合数据的图。
• 对这一图施加组合条件，以分析根重数与负根映射的有限性。
• 将对称情形中的概念（如蒂茨锥与正根上的偏序）适配至非对称设置。
• 运用表示论技术分析根在群作用下的行为。
• 通过关联考克斯eter型图的图论性质，推导根重数与有限性的特征刻画。

实验结果

研究问题

• RQ1 在关联图满足何种组合条件时，非对称几何表示中根的非平凡倍数仍为根？
• RQ2 在该非对称设置中，何时一个群元素将正根映射为负根的数量是有限的？
• RQ3 如何将对称情形中涉及蒂茨锥的有限性结果推广至非对称几何表示？
• RQ4 图的结构与非对称表示中根的重数之间存在何种关系？
• RQ5 在非对称双线性型背景下，正根上的偏序关系与蒂茨锥如何推广？

主要发现

• 当且仅当与考克斯eter图相关的图满足特定组合条件时，根的非平凡倍数也是根。
• 当且仅当满足特定图论约束时，群元素将正根映射为负根的数量是有限的。
• 根重数与负根映射的有限性完全由关联图上的组合数据刻画。
• 对称情形结果（特别是涉及蒂茨锥与正根上偏序关系的结果）在非对称设置中，于相同组合条件下依然成立。
• 该框架成功通过非对称双线性型将标准几何表示推广至包含所有卡克斯–莫迪威尔群的范畴。
• 结果表明，非对称设置保留了关键的结构有限性性质，现由所导出图的组合性质所决定。