[论文解读] Combinatorial theory of permutation-invariant random matrices II: cumulants, freeness and Levy processes

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2015

Random Matrices and Applications参考文献 28被引用 10

一句话总结

本文引入了 $π$-迹代数和 $π$-累积量，以推广自由概率论与置换不变随机矩阵的累积量理论。研究证明，酉群或对称群不变性及在 $π$-分布下的收敛性可推出 $π$-自由性，并在这些不变性条件下，建立了矩阵值 Lévy 过程的加法与乘法形式的收敛定理，通过基于分划的对偶性与渐近自由性，统一了此类过程的研究。

ABSTRACT

The $\mathcal{A}$-tracial algebras are algebras endowed with multi-linear forms, compatible with the product, and indexed by partitions. Using the notion of $\mathcal{A}$-cumulants, we define and study the $\mathcal{A}$-freeness property which generalizes the independence and freeness properties, and some invariance properties which model the invariance by conjugation for random matrices. A central limit theorem is given in the setting of $\mathcal{A}$-tracial algebras. A generalization of the normalized moments for random matrices is used to define convergence in $\mathcal{A}$-distribution: this allows us to apply the theory of $\mathcal{A}$-tracial algebras to random matrices. This study is deepened with the use of $\mathcal{A}$-finite dimensional cumulants which are related to some dualities as the Schur-Weyl's duality. This gives a unified and simple framework in order to understand families of random matrices which are invariant by conjugation in law by any group whose associated tensor category is spanned by partitions, this includes for example the unitary groups or the symmetric groups. Among the various by-products, we prove that unitary invariance and convergence in distribution implies convergence in $\mathcal{P}$-distribution. Besides, a new notion of strong asymptotic invariance and independence are shown to imply $\mathcal{A}$-freeness. Finally, we prove general theorems about convergence of matrix-valued additive and multiplicative L{é}vy processes which are invariant in law by conjugation by the symmetric group. Using these results, a unified point of view on the study of matricial L{é}vy processes is given.

研究动机与目标

• 推广自由概率论与累积量理论，以处理在更小群（而非酉群）下不变的随机矩阵。
• 利用 $π$-迹代数与 $π$-累积量构建统一框架，研究矩阵值 Lévy 过程。
• 确立在何种条件下，由渐近不变性与独立性可导致 $π$-自由性。
• 在 $π$-分布下证明加法与乘法 Lévy 过程的收敛定理，将经典结果推广至非自由情形。

提出的方法

• 引入以分划为指标的多重线性形式的 $π$-迹代数，推广经典累积量与自由累积量。
• 将 $π$-自由性定义为独立性与自由性的推广，兼容于具有基于分划张量范畴的群的共轭不变性。
• 利用 $π$-有限维累积量，将随机矩阵的不变性与 Schur-Weyl 对偶性及表示论对偶性相联系。
• 在 $π$-迹代数中应用中心极限定理，推导随机矩阵族在 $π$-分布下的收敛性。
• 通过 $π$-分布与高阶波动，利用生成函数与 $π$-变换，建立矩阵值 Lévy 过程的收敛性。
• 证明强渐近 $π$-不变性与独立性可推出 $π$-自由性，扩展了经典渐近自由性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 自由性的概念能否被推广，以捕捉随机矩阵理论中在小于酉群的群下的不变性？
• RQ2 在何种条件下，$π$-分布收敛性与 $π$-不变性可推出随机矩阵族的 $π$-自由性？
• RQ3 如何刻画在对称群或酉群不变性下矩阵值 Lévy 过程的性质，并建立其收敛性？
• RQ4 $π$-迹代数理论能否统一经典概率论与自由概率论在非酉群不变性随机矩阵中的情形？
• RQ5 高阶波动在刻画渐近独立性与 $π$-分布收敛性中起何作用？

主要发现

• 酉群不变性与 $π$-分布收敛性可推出 $π$-自由性，将经典结果推广至非自由情形。
• 强渐近 $π$-不变性与独立性可推出 $π$-自由性，为渐近自由性提供了新判据。
• $π$-变换刻画了加法 Lévy 过程的极限：$\mathcal{R}^{(n)}[X_{t_0}] = e^{oxdot t_0 \mathcal{R}^{(n)}(G)}$，推广了自由 Lévy-Khintchine 公式。
• 对于乘法 Lévy 过程，矩的导数满足涉及 $π$-累积量的微分方程：$\frac{d}{dt}\mathbb{E}m_p^i[X_t] = \sum \kappa_{p_1}^i(G_k) \mathbb{E}m^{j}_{^{t}p_1 \circ p}[X_t]$，从而支持收敛性分析。
• 若初始生成元 $G_{k,l}^N$ 在阶数 $n$ 内收敛，则 $(X_t^N)$ 在 $π$-分布下至阶数 $n$ 的波动也收敛，确保时间演化下的稳定性。
• 该理论通过证明在群不变性与有限矩条件下，收敛性在 $π$-分布下成立（即使极限非自由），统一了矩阵型 Lévy 过程的研究。