[论文解读] Combinatorics and topology of straightening maps I: compactness and bijectivity

Hiroyuki Inou, Jan Kiwi|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文引入并研究了复多项式参数空间中次数 $d \geq 3$ 的伸直映射，推广了Douady与Hubbard在二次情形的结果。证明了这些映射的单射性，刻画了其紧致定义域，并建立了两类双射伸直映射：一类将 $(d-1)$-重Mandelbrot集嵌入连通性全集，另一类将二次全Filled Julia集族拟共形地嵌入三次连通性全集。

ABSTRACT

We study the parameter space structure of degree $d \ge 3$ one complex variable polynomials as dynamical systems acting on $\C$. We introduce and study {\it straightening maps}. These maps are a natural higher degree generalization of the ones introduced by Douady and Hubbard to prove the existence of small copies of the Mandelbrot set inside itself. We establish that straightening maps are always injective and that their image contains all the corresponding hyperbolic systems. Also, we characterize straightening maps with compact domain. Moreover, we give two classes of bijective straightening maps. The first produces an infinite collection of embedded copies of the $(d-1)$-fold product of the Mandelbrot set in the connectedness locus of degree $d \ge 3$. The second produces an infinite collection of full families of quadratic connected filled Julia sets in the cubic connectedness locus, such that each filled Julia set is quasiconformally embedded.

研究动机与目标

• 将Douady与Hubbard在二次情形下的伸直映射推广至更高次多项式动力系统（$d \geq 3$）。
• 在首一中心多项式参数空间中，定义并研究具有良好结构的定义域与目标空间的伸直映射。
• 刻画伸直映射具有紧致定义域的条件，并建立双射性的判定条件。
• 构造Mandelbrot集乘积与二次全Filled Julia集族在三次多项式连通性全集中的显式嵌入。
• 证明这些嵌入是拟共形的，且在全纯运动下保持动力结构。

提出的方法

• 定义与后临界有限多项式 $f_0$ 导出的约化映射模式 $T$ 相关的通用多项式模型空间 $\operatorname{Poly}(T)$。
• 将纤维丛连通性全集 $\mathcal{C}(T)$ 构造为伸直映射的目标空间。
• 利用 $f_0$ 的有理层 $\lambda_0$ 定义伸直映射的定义域 $\mathcal{R}(\lambda_0) \subset \mathcal{C}(d)$。
• 应用全纯运动技巧与 $\lambda$-引理，将拟共形结构延拓至参数族。
• 利用混合类的稳定性与多项式类映射中的共形共轭关系，证明伸直映射的拟共形延拓。
• 通过Mandelbrot集连通性与参数映射连续性的拓扑论证，证明纤维的局部不可约性与整体单射性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，从次数 $d \geq 3$ 多项式连通性全集出发的伸直映射是单射的？
• RQ2 何时伸直映射的定义域是紧致的？
• RQ3 能否构造出将Mandelbrot集乘积嵌入更高次多项式连通性全集的双射伸直映射？
• RQ4 能否通过伸直映射将二次全Filled Julia集族拟共形地嵌入三次连通性全集？
• RQ5 何种拓扑与动力性质可确保伸直映射的像包含所有相应的双曲系统？

主要发现

• 伸直映射始终是单射的，推广了Douady与Hubbard在高次多项式情形下的单射性结果。
• 伸直映射的定义域是紧致的，当且仅当其关联的约化映射模式为本原不相交类型。
• 存在一个无限族双射伸直映射，将Mandelbrot集的 $(d-1)$-重积嵌入次数 $d \geq 3$ 多项式的连通性全集。
• 另一无限族双射伸直映射将二次全Filled Julia集族拟共形地嵌入三次连通性全集。
• 伸直映射可延拓至参数空间的一个一维复解析子空间上的拟共形映射，确保纤维的局部不可约性。
• 伸直映射的像包含对应参数空间中所有双曲系统，确认其在双曲组件上的满射性。