[论文解读] Complete bounded embedded complex curves in C^2

Antonio Alarcón, Francisco J. López|arXiv (Cornell University)|May 9, 2013

Holomorphic and Operator Theory参考文献 21被引用 13

一句话总结

本文证明了在 ℂ² 的任意凸域中存在完全、有界、恰当嵌入的复曲线，解决了复几何中一个长期存在的开放问题。作者使用全纯嵌入的形变技术并结合受控的紧致集列 exhaustion，通过确保像中发散路径具有无限长度，从而在中间步骤存在自交的情况下仍保持完全性，构造出此类曲线。

ABSTRACT

We prove that any convex domain of C^2 carries properly embedded complete complex curves. In particular, we exhibit the first examples of complete bounded embedded complex curves in C^2

研究动机与目标

• 解决 ℂ² 中完全有界嵌入复曲线是否存在这一开放问题，特别是在最低维情形下。
• 将先前在高余维情形下关于完全全纯嵌入的结果推广到 ℂ² 中复曲线的临界情形。
• 在通过拓扑手术移除自交点的过程中，保持曲线的恰当性和完全性。
• 首次提供 ℂ² 中完全有界嵌入复曲线的例子，填补了复几何中的一个重大空白。

提出的方法

• 在 ℂ² 的凸域 𝔹 ⊂ ℂ² 中构造一列全纯嵌入 $X_n$，其在紧致子集上一致收敛于极限映射 $Y$。
• 使用紧致集列 $\{\mathcal{D}^n\}$ 对 𝔹 进行嵌套 exhaustion，其距离性质受控，以确保完全性。
• 定义一种形变过程，将浸入曲线中的自交点替换为嵌入的环面，同时保持发散弧的长度不变。
• 利用 exhaustion $\{\mathcal{D}^n\}$ 的 d-恰当性以及可 summable 的误差序列 $\{\epsilon_n\}$ 来控制距离估计。
• 通过验证 $Y(U)$ 中所有发散弧均具有无限欧氏长度，证明极限映射 $Y$ 是恰当、完全且单射的全纯浸入。
• 利用 $X_n$ 在紧致子集上关于 $C^1$-范数收敛于 $Y$，确保 $Y(U)$ 中弧的长度估计下界由 exhaustion 中的距离决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管在形变下嵌入性不稳定，完全有界嵌入复曲线是否可能存在于 ℂ² 中？
• RQ2 在 ℂ² 中对浸入复曲线移除自交点时，是否可能保持完全性？
• RQ3 ℂ² 中的所有凸域是否都包含恰当嵌入的完全复曲线？
• RQ4 该构造能否推广至高维情形，以得到具有强负全纯截面曲率的完全有界子流形？

主要发现

• 任意凸域 $\mathcal{B} \subset \mathbb{C}^2$ 均包含一条完全、恰当嵌入的复曲线，从而解决了最低余维情形下的开放问题。
• 通过一种保留完全性的形变方法，首次构造出 ℂ² 中完全有界嵌入复曲线。
• 该构造确保像中每个发散弧均具有无限欧氏长度，满足像完全性的定义。
• 极限映射 $Y: U \to \mathcal{B}$ 是恰当、单射、全纯浸入，因此是 $\mathcal{B}$ 中的恰当嵌入。
• 推论 1.2 建立了在 $\mathbb{C}^{2k}$ 和 $\mathbb{C}^{4k}$ 中存在完全有界嵌入复 $k$-维子流形，且其全纯截面曲率为强负。
• 该方法通过使用受控 exhaustion 和逼近映射的一致收敛性，避免了标准手术技术中常见的长度缩短问题。