[论文解读] Completion of the period mappings and ampleness of the Hodge bundles

Phillip Griffiths, Mark Green+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 8, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 37被引用 5

一句话总结

本文提出了一种周期映射的霍奇理论完备化，猜想其构成一个紧致复解析流形。当周期映射的像维数 ≤2 时，该猜想得到证明，且增强的霍奇线丛被证明可延拓为一个正线丛，使得完备化成为一个射影代数簇，其对像的紧化方式类似于萨塔克-贝利-博雷尔紧化。

ABSTRACT

We discuss progress towards a conjectural Hodge theoretic completion of a period map. The completion is defined, and we conjecture that it admits the structure of a compact complex analytic variety. The conjecture is proved when the image of the period map has dimension 1,2. Assuming the conjecture holds, we then prove that the augmented Hodge line bundle extends to an ample line bundle on the completion. In particular, the completion is a projective algebraic variety that compactifies the image, analogous to the Satake-Baily-Borel compactification.

研究动机与目标

• 开发一种周期映射的猜想性霍奇理论完备化，将像延拓为一个紧致复解析流形。
• 确立该完备化成为射影代数簇的条件。
• 研究增强霍奇线丛向完备化的延拓性质。
• 提供一种类似于萨塔克-贝利-博雷尔紧化的周期映射像的紧化方法。
• 在猜想成立的前提下，证明霍奇线丛在完备化上成为正线丛。

提出的方法

• 利用霍奇理论数据（特别是极限混合霍奇结构）定义周期映射的新完备化。
• 猜想该完备化具有紧致复解析流形的结构。
• 当周期映射的像维数为 1 或 2 时，利用霍奇理论与复几何技术证明该猜想。
• 分析增强霍奇线丛在完备化边界附近的行为。
• 证明增强霍奇线丛可延拓为完备化上的线丛。
• 建立延拓后线丛的正性，从而推出完备化为射影代数簇。

实验结果

研究问题

• RQ1 所提出的周期映射的霍奇理论完备化是否具有紧致复解析流形的结构？
• RQ2 在何种条件下，增强霍奇线丛可延拓为完备化上的正线丛？
• RQ3 当像的维数较低时，该完备化与萨塔克-贝利-博雷尔紧化有何关系？
• RQ4 当周期映射的像维数 ≤2 时，该完备化能否赋予射影代数结构？
• RQ5 延拓后的霍奇线丛在完备化上的几何意义为何？

主要发现

• 当周期映射的像维数为 1 或 2 时，该猜想性霍奇理论完备化被证明为一个紧致复解析流形。
• 在猜想设定下，增强霍奇线丛可延拓为完备化上的线丛。
• 证明延拓后的霍奇线丛在完备化上是正的，从而推出完备化为射影代数簇。
• 该完备化提供了一种类似于萨塔克-贝利-博雷尔紧化的周期映射像的紧化方式。
• 完备化上的射影结构直接源于延拓后霍奇线丛的正性。