[论文解读] Complex Ashtekar variables, the Kodama state and spinfoam gravity

Wolfgang Wieland|arXiv (Cornell University)|May 11, 2011

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 44被引用 8

一句话总结

该论文提出了一种使用复数 Ashtekar 变量与实数 Barbero–Immirzi 参数的自旋泡沫引力模型，引入了 $SL(2,\mathbb{C})$ Kodama 态作为哈密顿约束的正式解。该模型构建了具有有限维表示的 $SL(2,\mathbb{C})$ 边界自旋网络态，通过 Chern–Simons 期望值定义顶点振幅，并推导出链关系，同时通过潜在的 $q$-形变来应对现实性条件带来的挑战。

ABSTRACT

Starting from a Hamiltonian description of four dimensional general relativity in presence of a cosmological constant we perform the program of canonical quantisation. This is done using complex Ashtekar variables while keeping the Barbero--Immirzi parameter real. Introducing the SL(2,C) Kodama state formally solving all first class constraints we propose a spinfoam vertex amplitude. We construct SL(2,C) boundary spinnetwork functions coloured by finite dimensional representations of the group, and derive the skein relations needed to calculate the amplitude. The space of boundary states is shown to carry a representation of the holonomy flux algebra and can naturally be equipped with a non-degenerate inner product. It fails to be positive definite, but cylindrical consistency is perfectly satisfied.

研究动机与目标

• 使用复数 Ashtekar 变量重新表述经典量子引力，同时保持实数 Barbero–Immirzi 参数，逆转圈量子引力中从 $SL(2,\mathbb{C})$ 到 $SU(2)$ 变量的转变。
• 基于 $SL(2,\mathbb{C})$ Kodama 态构造自旋泡沫顶点振幅，该态虽违反现实性条件，但形式上满足 Wheeler–DeWitt 方程。
• 定义具有有限维 $SL(2,\mathbb{C})$ 表示的边界自旋网络态，其构成全息通量代数的表示，并允许非退化的、不定的内积。
• 探索 $q$-形变作为解决有限维表示与现实性条件不相容性的机制的可行性。
• 为一类新型自旋泡沫模型奠定基础，该模型可能调和有限维表示与洛伦兹引力及现实性约束。

提出的方法

• 使用复数 Ashtekar 变量和实数 Barbero–Immirzi 参数，对含宇宙学常数的四维引力进行形式化正则量子化。
• 构造 $SL(2,\mathbb{C})$ Kodama 态作为哈密顿约束的正式解，保持 Wheeler–DeWitt 方程的简化形式。
• 定义以 $SL(2,\mathbb{C})$ 有限维表示为颜色的边界自旋网络函数，构成全息通量代数的表示。
• 在边界态空间上引入非退化的、不定的内积，允许正、负和零模态。
• 将自旋泡沫顶点振幅计算为边界自旋网络的 Chern–Simons 期望值，并推导出最低自旋表示的链关系。
• 推测 $SL(2,\mathbb{C})$ 规范群的 $q$-形变可能解决有限维表示中现实性条件的不相容性，从而实现一致的量子理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管违反了现实性条件，$SL(2,\mathbb{C})$ Kodama 态是否可作为自旋泡沫引力中可行的顶点振幅？
• RQ2 有限维 $SL(2,\mathbb{C})$ 表示能否用于构建具有非退化内积的边界态空间？
• RQ3 $SL(2,\mathbb{C})$ 的 $q$-形变是否是解决有限维自旋网络态中现实性条件问题的可行机制？
• RQ4 在此形式体系中，如何一致地定义相交纽结的面振幅和正则化？
• RQ5 该使用有限维表示的模型与基于无限维洛伦兹群表示的现有自旋泡沫模型之间存在何种关系？

主要发现

• 在复数 Ashtekar 变量和实数 Barbero–Immirzi 参数下，$SL(2,\mathbb{C})$ Kodama 态形式上满足哈密顿约束方程，保持了 Wheeler–DeWitt 方程的简化。
• 基于有限维 $SL(2,\mathbb{C})$ 表示的边界自旋网络态构成全息通量代数的表示，并允许非退化的、不定的内积，尽管该空间并非希尔伯特空间。
• 顶点振幅被定义为非相交环的 Chern–Simons 期望值，且已为最低的两个自旋表示推导出链关系。
• 在所提出的有限维边界态上，无法以朴素方式满足现实性条件，但 $q$-形变可能通过修改约束方程提供解决方案。
• 该框架暗示了一条调和有限维表示与洛伦兹引力的路径，可能通过保持柱状一致性的 $SL(2,\mathbb{C})$ 量子形变实现。
• 该模型与圈量子引力的初态结构保持一致，但 Kodama 态的物理诠释以及现实性条件的作用仍为开放问题。