[论文解读] Complex Monge-Ampere equations and totally real submanifolds

Bo Guan, Qun Li|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2009

Geometry and complex manifolds参考文献 34被引用 12

一句话总结

本文在一般（非强伪凸）Hermitian流形上建立了复Monge-Ampère方程的Dirichlet问题的可解性，将经典结果推广到更广泛的几何设定。关键贡献是在次解条件下的广义解存在性定理，其应用包括Donaldson关于Kähler度量空间测地线的猜想，以及通过齐次复Monge-Ampère方程刻画全实子流形。

ABSTRACT

We study the Dirichlet problem for complex Monge-Ampere equations in Hermitian manifolds with general (non-pseudoconvex) boundary. Our main result extends the classical theorem of Caffarelli, Kohn, Nirenberg and Spruck in the flat case. We also consider the equation on compact manifolds without boundary, attempting to generalize Yau's theorems in the Kaehler case. As applications of the main result we study some connections between the homogeneous complex Monge-Ampere ({\em HCMA}) equation and totally real submanifolds, and a special Dirichlet problem for the HCMA equation related to Donaldson's conjecture on geodesics in the space of Kaehler metrics.

研究动机与目标

• 将复Monge-Ampère方程的经典可解性理论从强伪凸区域推广到具边界的广义Hermitian流形。
• 将Yau在紧致Kähler流形上关于复Monge-Ampère方程的存在性定理推广到Hermitian设定。
• 通过齐次复Monge-Ampère方程的解刻画全实子流形。
• 通过复Monge-Ampère方程的特殊Dirichlet问题解决Donaldson关于Kähler度量空间中测地线的猜想。

提出的方法

• 通过次解条件，在具边界的Hermitian流形上建立复Monge-Ampère方程的一般存在性定理。
• 应用粘性理论和椭圆PDE技巧处理退化方程，特别是齐次复Monge-Ampère（HCMA）方程。
• 将Kähler度量空间中的测地线问题提升到更高维复流形 $M \times A$，其中 $A$ 为环形区域，将测地线方程重新表述为HCMA方程。
• 利用Hermitian度量空间上的 $L^2$ Riemann度量定义测地线，并导出相应的Monge-Ampère方程。
• 构造形式为 $\underline{\varphi} = (1-t)\varphi_0 + t\varphi_1 + K(t^2 - t)$ 的严格次解，以确保复Hessian的正定性并应用主要存在性定理。
• 将主要存在性结果应用于证明在 $M \times A$ 上HCMA方程弱解的存在性，其中 $\varphi \in C^{1,\alpha}$ 且 $\Delta\varphi \in L^\infty$。

实验结果

研究问题

• RQ1 复Monge-Ampère方程的Dirichlet问题是否可在具边界的广义（非伪凸）Hermitian流形上求解？
• RQ2 如何利用齐次复Monge-Ampère方程刻画全实子流形？
• RQ3 Donaldson关于Kähler度量空间中光滑测地线存在的猜想在Hermitian设定下是否成立？
• RQ4 在Hermitian流形测地度量的背景下，HCMA方程解的正则性可达到何种程度？

主要发现

• 只要存在满足不等式和边界条件的 $C^4$ 次解，任意具边界的紧致Hermitian流形上复Monge-Ampère方程的Dirichlet问题均存在光滑解。
• 在假设初始数据为 $C^4$ 的前提下，$M \times A$ 上HCMA方程的解属于弱 $C^{1,\alpha}$ 类（对任意 $0 < \alpha < 1$），且满足 $\Delta\varphi \in L^\infty(M \times A)$。
• 若基流形具有非负双截面曲率，则解属于 $C^{1,1}(M \times A)$，从而提高了解的正则性。
• 测地线问题的解是唯一的且具有旋转对称性，证实解仅依赖于时间变量 $t$，而不依赖于角变量 $s$。
• 在 $M \times A$ 上HCMA方程弱解的存在性蕴含了Hermitian度量空间中测地线的存在性，从而将Donaldson的猜想推广至Hermitian情形。
• 通过解的几何结构及其Hessian性质，建立了全实子流形通过HCMA方程解刻画的结论。