[论文解读] Complexity measures in QFT and constrained geometric actions

Pablo Bueno, Javier M. Magán+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 66被引用 9

一句话总结

该论文通过识别哪些代价函数能产生电路复杂度的有效下界，为量子场论中的量子复杂度建立了严格的几何框架。它表明非齐次代价函数会违反Lloyd的界，并确定了一个源自希尔伯特空间度量的规范复杂度度量，该度量与基洛罗夫的共轭轨道作用及通过哈密顿-雅可比分析得到的量子作用相联系，从而统一描述了经典与量子系统中的复杂度与混沌。

ABSTRACT

We study the conditions under which, given a generic quantum system, complexity metrics provide actual lower bounds to the circuit complexity associated to a set of quantum gates. Inhomogeneous cost functions ---many examples of which have been recently proposed in the literature--- are ruled out by our analysis. Such measures are shown to be unrelated to circuit complexity in general and to produce severe violations of Lloyd's bound in simple situations. Among the metrics which do provide lower bounds, the idea is to select those which produce the tightest possible ones. This establishes a hierarchy of cost functions and considerably reduces the list of candidate complexity measures. In particular, the criterion suggests a canonical way of dealing with penalties, consisting in assigning infinite costs to directions not belonging to the gate set. We discuss how this can be implemented through the use of Lagrange multipliers. We argue that one of the surviving cost functions defines a particularly canonical notion in the sense that: i) it straightforwardly follows from the standard Hermitian metric in Hilbert space; ii) its associated complexity functional is closely related to Kirillov's coadjoint orbit action, providing an explicit realization of the ``complexity equals action'' idea; iii) it arises from a Hamilton-Jacobi analysis of the ``quantum action'' describing quantum dynamics in the phase space canonically associated to every Hilbert space. Finally, we explain how these structures provide a natural framework for characterizing chaos in classical and quantum systems on an equal footing, find the minimal geodesic connecting two nearby trajectories, and describe how complexity measures are sensitive to Lyapunov exponents.

研究动机与目标

• 确定量子场论中哪些复杂度度量能为电路复杂度提供有效的下界。
• 排除违反Lloyd界且无法与物理复杂度关联的非齐次代价函数。
• 通过识别能产生最紧致下界的代价函数，建立代价函数的层级结构。
• 识别出源自标准希尔伯特空间度量的规范复杂度泛函，并阐明其与几何作用及“复杂度等于作用”原理的关联。
• 利用几何与辛结构，统一描述经典与量子系统中的复杂度与混沌。

提出的方法

• 通过连续协议和瞬时哈密顿量，在酉群流形上利用测地线长度分析电路复杂度。
• 利用酉变换的Banach-Lie群结构，定义复杂度的几何框架。
• 引入$ abla$-有界条件，以确保代价函数能为复杂度提供有效下界。
• 使用拉格朗日乘子法，对门集外方向施加无限惩罚，以强制约束代价函数。
• 从希尔伯特空间内积推导出规范复杂度泛函$F_{raket{H^{2}}}$，并证明其与基洛罗夫的共轭轨道作用等价。
• 对量子作用执行哈密顿-雅可比分析，表明规范复杂度度量在半经典极限下自然出现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子场论中，哪些代价函数能为电路复杂度提供有效的下界？
• RQ2 为何非齐次代价函数无法与物理复杂度关联且违反Lloyd的界？
• RQ3 如何利用几何与群论原理，从可行候选中唯一确定一个规范复杂度度量？
• RQ4 规范复杂度泛函与基洛罗夫的共轭轨道作用之间有何关联？
• RQ5 几何复杂度框架如何统一描述经典与量子系统中的复杂度与混沌？

主要发现

• 非齐次代价函数被排除，因为即使在简单系统中也会违反Lloyd的界，且无法为电路复杂度提供有意义的下界。
• 规范复杂度度量$F_{raket{H^{2}}}$直接源自希尔伯特空间中的标准厄米度量，并提供最紧致的可能下界。
• 该规范泛函与基洛罗夫的共轭轨道作用等价，从而直接实现了“复杂度等于作用”猜想的实现。
• 复杂度泛函自然地从量子作用的哈密顿-雅可比分析中浮现，将其与量子动力学的半经典极限联系起来。
• 该框架提供了复杂度与混沌的统一几何描述，其中复杂度度量通过邻近轨迹间的最小测地线对李雅普诺夫指数敏感。
• 使用拉格朗日乘子法为非门方向分配无限代价，提供了一种规范且物理一致的方式来强制执行门集约束。