[论文解读] Complexity of Non-Monotonic Logics

Michael E. Thomas, Heribert Vollmer|arXiv (Cornell University)|Sep 10, 2010

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 12被引用 10

一句话总结

本文通过使用Post的布尔函数格对命题片段进行分类，对非单调逻辑（默认逻辑、自知逻辑和限定）进行了全面的复杂性分析，涵盖可满足性、蕴含和归因等推理任务，以及解释计数问题。主要贡献在于对归因和解释计数的计算复杂性进行了完整分类，表明复杂性范围从P到NP完全和Σ₂^p完全，具体取决于所涉及的布尔函数簇，当限制在某些可有效处理的簇时，会呈现出二分性特征。

ABSTRACT

Over the past few decades, non-monotonic reasoning has developed to be one of the most important topics in computational logic and artificial intelligence. Different ways to introduce non-monotonic aspects to classical logic have been considered, e.g., extension with default rules, extension with modal belief operators, or modification of the semantics. In this survey we consider a logical formalism from each of the above possibilities, namely Reiter's default logic, Moore's autoepistemic logic and McCarthy's circumscription. Additionally, we consider abduction, where one is not interested in inferences from a given knowledge base but in computing possible explanations for an observation with respect to a given knowledge base. Complexity results for different reasoning tasks for propositional variants of these logics have been studied already in the nineties. In recent years, however, a renewed interest in complexity issues can be observed. One current focal approach is to consider parameterized problems and identify reasonable parameters that allow for FPT algorithms. In another approach, the emphasis lies on identifying fragments, i.e., restriction of the logical language, that allow more efficient algorithms for the most important reasoning tasks. In this survey we focus on this second aspect. We describe complexity results for fragments of logical languages obtained by either restricting the allowed set of operators (e.g., forbidding negations one might consider only monotone formulae) or by considering only formulae in conjunctive normal form but with generalized clause types. The algorithmic problems we consider are suitable variants of satisfiability and implication in each of the logics, but also counting problems, where one is not only interested in the existence of certain objects (e.g., models of a formula) but asks for their number.

研究动机与目标

• 系统性地对默认逻辑、自知逻辑和限定等非单调逻辑中的推理任务的计算复杂性进行分类。
• 分析通过Post的布尔函数格对逻辑语言施加的限制，如何影响可满足性、蕴含和归因等关键问题的复杂性。
• 基于可用布尔函数的簇参数化，对命题归因中的解释存在性和计数问题的复杂性提供完整分类。
• 解决计数复杂性中的开放问题，特别是对仿射和对偶Horn片段的处理，并澄清观察表示形式（子句、项、公式）在复杂性变化中的作用。

提出的方法

• 本研究采用Post格对所有有限布尔函数集合（簇）进行分类，利用闭包运算[·]定义表达力和复杂性层次结构。
• 基于簇框架，分析默认逻辑、自知逻辑和限定的命题变体中的推理问题（可满足性、蕴含、归因）。
• 针对归因问题，考虑三种观察表示形式：子句、项和B-公式，并评估其对复杂性的影响。
• 通过减法归约分析计数问题，区分完全解释与在偏好关系下的子集最小化解释。
• 利用已知复杂性类（如P、NP、Σ₂^p、#P和#·coNP），通过归约证明完备性结果。
• 利用簇的结构属性（如单调性、对偶性、仿射性）推导复杂性的二分性与三分性特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 当知识库和观察结果仅使用给定有限集合B中的函数表达时，命题归因中解释存在性问题的复杂性是什么？
• RQ2 当观察结果分别以子句、项或B-公式形式表示时，归因问题的复杂性如何变化？
• RQ3 根据簇[B]的不同，归因中所有解释和子集最小化解释的计数复杂性分别是什么？
• RQ4 在何种条件下，解释计数的复杂性会从#·coNP降至#P，甚至降至FP？
• RQ5 当知识库被限制为仿射关系时，是否存在解释计数复杂性的二分性？

主要发现

• 若[B]包含S₀₂、S₁₂或D₁，则解释存在性问题为Σ₂^p完全；若[B]属于M且包含S₀₀或S₁₀，则为NP完全；若[B]属于E、V或L，则属于P。
• 将观察结果放宽为项会增加复杂性：当[B ∪ {0,1}] = V时，问题变为NP完全，而非Σ₂^p完全。
• 当观察结果以B-公式形式形式化时，分类呈现二分性特征：若[B]高于E、V或L，则为Σ₂^p完全；否则为可有效处理。
• 解释计数问题若[B]包含S₀₂、S₁₂或D₁，则为#·coNP完全；若[B] ⊆ M且包含S₀₀、S₁₀或D₂，则为#P完全；否则属于FP。
• 对于正文字面解释，若[B] ⊆ V₂，则问题属于FP；若[B] ⊆ L₂，则仅知属于#P。
• 仿射关系的开放情况仍未解决，因为[B] ⊆ 仿射时解释计数的复杂性仍未知，尽管推测其属于FP。