[论文解读] Computing energy density in one dimension

Yichen Huang|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Quantum many-body systems参考文献 18被引用 14

一句话总结

本文提出了一种严格算法，用于在一维量子系统中计算能量密度，该系统满足Rényi纠缠熵的面积律或能隙条件。该算法在系统尺寸无关的前提下，实现了与逆精度的亚指数级缩放，从而能够通过具有有界纠缠维度的矩阵乘积算符高效近似计算单位面积的基态能量。

ABSTRACT

We study the problem of computing energy density in one-dimensional quantum systems. We show that the ground-state energy per site or per bond can be computed in time (i) independent of the system size and subexponential in the desired precision if the ground state satisfies area laws for the Renyi entanglement entropy (this is the first rigorous formulation of the folklore that area laws imply efficient matrix-product-state algorithms); (ii) independent of the system size and polynomial in the desired precision if the system is gapped. As a by-product, we prove that in the presence of area laws (or even an energy gap) the ground state can be approximated by a positive semidefinite matrix product operator of bond dimension independent of the system size and subpolynomial in the desired precision of local properties.

研究动机与目标

• 严格形式化长期以来的常识性观点：面积律意味着一维量子系统中矩阵乘积态（MPS）算法的高效性。
• 开发一种方法，以精度δ计算单位面积或单位键的基态能量密度，且与系统尺寸无关。
• 证明满足面积律的基态可由正半定矩阵乘积算符（MPO）近似，且其纠缠维度在精度上为次多项式。
• 建立在纠缠面积律和能隙条件下能量密度估计的计算复杂度界限。
• 通过为MPS效率提供严格理论基础，弥合理论量子哈密顿量复杂性与实际数值方法（如DMRG）之间的鸿沟。

提出的方法

• 将一维链划分为大小为O(1/δ)的块，以应用Chernoff不等式对能量密度进行统计估计。
• 对随机采样的块进行精确对角化，以高概率估计单位面积的平均能量。
• 应用Lieb-Robinson界限和时间有序指数近似，以有界误差模拟局部演化算符。
• 通过截断和离散化局部哈密顿量的积分，构建时间演化算符的MPO近似。
• 利用规范形式变换和SVD分解，确保MPS表示具有有界纠缠维度。
• 结合截断、离散化和近似误差分析，将总误差控制在δ以内，且纠缠维度在1/δ上为次多项式缩放。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一维量子系统中，若基态满足Rényi纠缠熵的面积律，能否高效计算其基态能量密度？
• RQ2 若哈密顿量存在能隙，是否能实现与系统尺寸无关、且在1/δ上为多项式时间的算法来估计能量密度？
• RQ3 能否用纠缠维度与系统尺寸无关且在精度上为次多项式的MPO近似满足面积律的基态？
• RQ4 在一维系统中，若满足面积律或存在能隙，以精度δ估计能量密度的计算复杂度是多少？
• RQ5 面积律或能隙的存在如何影响矩阵乘积态表示和能量计算的效率？

主要发现

• 若基态满足Rényi纠缠熵的面积律，则能量密度可在与系统尺寸无关、且在1/δ上为亚指数时间下计算至精度δ。
• 若系统存在能隙，则能量密度可在与系统尺寸无关、且在1/δ上为多项式时间下计算至精度δ。
• 基态可由纠缠维度与系统尺寸无关、且在1/δ上为次多项式的正半定MPO近似。
• MPO近似的纠缠维度缩放为(1/δ)^O(1 + √(log(1/η)/log(1/δ))/ε)，对固定ε而言，该缩放为1/δ的次多项式。
• 该算法在至少0.999的概率下实现误差界在δ以内，采用随机采样和Chernoff型集中不等式。
• MPO各分量的构造是高效的，每一分量仅需poly(D)时间，其中D为纠缠维度。