[论文解读] Conjectures involving arithmetical sequences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Aug 13, 2012

Advanced Mathematical Identities参考文献 17被引用 7

一句话总结

本文提出了关于数论与组合序列导出的序列单调性的30个猜想，特别关注 $(\sqrt[n]{a_n})_{n \geq 1}$ 和 $(\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n})_{n \geq 1}$ 的行为，其中 $a_n$ 是一个正整数序列。主要贡献是一个统一的猜想框架，扩展了Firoozbakht猜想和Artin原根猜想，并对特定情况进行了广泛的数值验证。

ABSTRACT

We pose thirty conjectures on arithmetical sequences, most of which are about monotonicity of sequences of the form $( oot n\of{a_n})_{n\ge 1}$ or the form $( oot{n+1}\of{a_{n+1}}/ oot n\of{a_n})_{n\ge1}$, where $(a_n)_{n\ge 1}$ is a number-theoretic or combinatorial sequence of positive integers. This material might stimulate further research.

研究动机与目标

• 将Firoozbakht关于 $\sqrt[n]{p_n}$ 严格递减的猜想推广到更广泛的序列类别，包括等差数列中的素数和原根。
• 研究组合序列（如Franel、Apéry、Domb和Schröder数）的 $\sqrt[n]{a_n}$ 和 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$ 的单调行为。
• 对已知不等式（如Mandl不等式）提出改进与推广，适用于素数和相关序列的和。
• 探索序列增长率与深层数论猜想（如Artin原根猜想和Schinzel的H假设）之间的联系。
• 系统性地列出30个猜想，以激发对算术序列的对数凹性、对数凸性及渐近单调性的进一步研究。

提出的方法

• 基于数值证据和与已知不等式的类比，提出关于由素数、原根和组合数导出的序列 $a_n$ 的 $\sqrt[n]{a_n}$ 严格递减的猜想。
• 使用变换：若 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$ 严格递增且极限为1，则 $\sqrt[n]{a_n}$ 严格递减。
• 通过数值验证至 $n = 10^6$ 及素数至 $4 \times 10^{18}$，支持关于 $p_n^\alpha$ 和 $\sqrt[n]{S_n}$ 的猜想。
• 通过引入对数修正，对Firoozbakht猜想进行改进，例如 $\sqrt[n+1]{p_{n+1}} / \sqrt[n]{p_n} < 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$，并进行广泛的计算检查。
• 通过猜想：给定最小或最大负原根的素数序列满足 $\sqrt[n]{p_n(a)} > \sqrt[n+1]{p_{n+1}(a)}$，推广Artin猜想，仅在 $a = -2$，$n = 13$ 时例外。
• 对组合序列（如Franel、Apéry、Domb和Catalan-Larcombe-French数）的比值序列 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$ 提出单调性猜想，并给出明确的阈值 $N(r)$ 或 $M(r)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于所有 $n \geq 1$，序列 $\sqrt[n]{p_n}$ 是否严格递减，如Firoozbakht猜想所述？这一结论能否推广到等差数列中的素数？
• RQ2 比值 $\sqrt[n+1]{p_{n+1}} / \sqrt[n]{p_n}$ 是否对所有 $n > 4$ 满足改进后的不等式 $< 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$？
• RQ3 对于给定的非完全幂 $a$，序列 $\sqrt[n]{p_n(a)}$ 是否对充分大的 $n$ 严格递减，其中 $p_n(a)$ 是以 $a$ 为原根的第 $n$ 个素数？
• RQ4 对于组合序列（如Franel、Apéry、Domb和Schröder数），比值序列 $\sqrt[n+1]{a_{n+1}} / \sqrt[n]{a_n}$ 是否严格递减且极限为1？
• RQ5 能否利用 $P_n$ 的单调性证明涉及 $\sum_{k=0}^{p-1} P_k / 8^k \mod p^3$ 和 $\sum_{k=0}^{p-1} P_k / 16^k \mod p^3$ 的同余关系？

主要发现

• 猜想2.1指出：对于 $\alpha > 0$，平均值 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n p_k^\alpha < \frac{p_n^\alpha}{\alpha+1}$ 对所有 $n \geq 2\lceil\alpha\rceil^2 + \lceil\alpha\rceil + 6$ 成立，已对 $\alpha = 2$ 至 $700$ 及 $n \leq 10^6$ 进行数值验证。
• 猜想2.2通过断言 $\frac{\sqrt[n+1]{p_{n+1}}}{\sqrt[n]{p_n}} < 1 - \frac{\log \log n}{2n^2}$ 对所有 $n > 4$ 成立，对Firoozbakht猜想进行了改进，已验证至 $n = 3,500,000$ 且素数小于 $4 \times 10^{18}$。
• 猜想2.3将Firoozbakht猜想推广至等差数列中的素数：$\sqrt[n]{p_n(a,q)}$ 对于 $n \geq n_0(a,q)$ 严格递减，其中当 $q \leq 45$ 时 $n_0(a,q) = 2$，尽管对小的 $n$ 存在例外。
• 猜想2.4提出：对于非完全幂 $a$，序列 $\sqrt[n]{p_n(a)}$ 对 $a > 0$ 严格递减，对 $a < 0$ 除 $a = -2$，$n = 13$ 外也成立，且比值序列 $\sqrt[n+1]{P_{n+1}(a)} / \sqrt[n]{P_n(a)}$ 严格递增收敛至1。
• 猜想3.10指出：对于Apéry数 $A_n^{(r)}$，比值序列 $\sqrt[n+1]{A_{n+1}^{(r)}} / \sqrt[n]{A_n^{(r)}}$ 对 $n \geq M(r)$ 严格递减，其中当 $r \leq 16$ 时 $M(r) = 1$，且 $M(17) = M(18) = M(19) = 9$，$M(20) = 12$。
• 猜想3.13断言：Catalan-Larcombe-French数 $P_n$ 满足 $\sqrt[n]{P_n}$ 严格递增，且 $\sqrt[n+1]{P_{n+1}} / \sqrt[n]{P_n}$ 严格递减，其支持性同余关系涉及Euler数模 $p^3$。