[论文解读] List of conjectural series for powers of $\pi$ and other constants

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 17被引用 46

一句话总结

本文提出了61个关于$1/\pi$及其他数学常数的猜想级数，包括$\pi^2$、$\zeta(3)$、$\zeta(5)$、卡塔兰常数$G$，以及与狄利克雷特征相关的$L$-值。通过一种新型的超几何型序列对偶变换，作者从已知级数推导出新的级数，特别是针对$1/\pi$，并基于数值证据和拉马努金型超几何级数中的结构模式，提出其精确求值的猜想。

ABSTRACT

The author gives the full list of his conjectures on series for powers of $\\pi$ and other important constants scattered in some of his public papers or his private diaries. The list contains 234 reasonable conjectural series. On the list there are 178 reasonable series for $\\pi^{-1}$, four series for $\\pi^2$, two series for $\\pi^{-2}$, four series for $\\pi^4$, two series for $\\pi^5$, three series for $\\pi^6$, seven series for $\\zeta(3)$, one series for $\\pi\\zeta(3)$, two series for $\\pi^2\\zeta(3)$, one series for $\\zeta(3)^2$, three series involving both $\\zeta(3)^2$ and $\\pi^6$, one series for $\\zeta(5)$, three series involving both $\\zeta(5)$ and $\\zeta(2)\\zeta(3)$, two series involving both $\\pi\\zeta(5)$ and $\\pi^3\\zeta(3)$, three series involving $\\zeta(7)$, three series for $K=L(2,(\\frac{\\cdot}{3}))$, one series for the Catalan constant $G$, two series for $\\pi G$, one series involving both $\\pi^3G$ and $\\pi^2\\zeta(3)$, two series for $\\pi K$, two series involving $L=L(4,(\\frac{\\cdot}3))$, three series involving $\\beta(4)=L(4,(\\frac{-4}{\\cdot}))$, and four series for $\\pi^2\\log a$ with $a=2,3,(\\sqrt5+1)/2$. The code of a conjectural series is underlined if and only if a complete proof of the identity is available.

研究动机与目标

• 通过超几何级数中的数值实验与结构模式，发现并猜想$1/\pi$及其他基本常数的新无穷级数。
• 开发一种对偶变换技术，通过变换底层序列系数，从已知级数生成$1/\pi$的新级数。
• 通过识别具有相似代数与算术结构的级数族，统一并扩展已知的拉马努金型$1/\pi$级数。
• 基于全面搜索与模式识别，猜想所有特定类型（如$c=1$）的$1/\pi$级数已全部列举完毕。

提出的方法

• 对给定序列$\{a_n\}$，定义对偶序列$a_n^* = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k a_k$，其满足$(a_n^*)^* = a_n$。
• 将对偶变换应用于形如$\sum_{k=0}^\infty (bk + c) \frac{\binom{2k}{k} a_k}{m^k} = \frac{C}{\pi}$的已知级数，生成具有变换后系数和基$4 - m$的新级数。
• 利用恒等式$\sum_{k=0}^\infty (bmk + 2b + (m-4)c) \frac{\binom{2k}{k} a_k^*}{(4-m)^k} = (m-4)\sqrt{\frac{m-4}{m}} \sum_{k=0}^\infty (bk + c) \frac{\binom{2k}{k} a_k}{m^k}$（当$|m - 4| > 4$时）推导新求值结果。
• 通过数值验证支持猜想，尤其针对收敛缓慢的级数，并与后续证明中的已知结果（见[CWZ1]、[WZ]和[CWZ2]）进行比较。
• 引入并使用特殊函数，如调和数$H_k$、广义调和数$H_k^{(m)}$，以及特殊$L$-值如$K = L(2, \cdot/3)$和$L(4, \cdot/3)$，用于级数表达。
• 基于50天内的系统性发现，猜想所有类型IV且$c=1$的$1/\pi$级数已被18个特定例子完全穷举。

实验结果

研究问题

• RQ1 对超几何序列的对偶变换能否从已知级数生成新的、精确的$1/\pi$级数？
• RQ2 类型IV且$c=1$的$1/\pi$级数的完整集合是什么？能否被完全列举？
• RQ3 调和数与广义调和数$H_k^{(m)}$如何与中心二项式系数在$\zeta(3)$、$\zeta(5)$和$\pi^2$的级数中相互作用？
• RQ4 能否系统性地生成并数值验证涉及特殊$L$-值如$K = L(2, \cdot/3)$和$L = L(4, \cdot/3)$的猜想级数？
• RQ5 变换$m \mapsto 4 - m$在从已有级数生成新级数中起什么作用？其收敛性与求值性质如何？

主要发现

• 猜想级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{(10k-3)8^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = \frac{\pi^2}{2}$，并得到数值证据支持。
• 猜想级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{(28k^2 - 18k + 3)(-64)^k}{k^5 \binom{2k}{k}^4 \binom{3k}{k}} = -14\zeta(3)$，揭示中心二项式系数与zeta值之间的联系。
• 猜想级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{H_{2k} + 2H_k}{k^2 \binom{2k}{k}} = \frac{5}{3}\zeta(3)$，展示调和数与$\zeta(3)$的相互作用。
• 猜想级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k^2 \binom{2k}{k}} \left(6H_{2k} - 11H_k + \frac{8}{k}\right) = 2\pi G$，将$G$（卡塔兰常数）与$\pi$及调和数联系起来。
• 猜想级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{3^k}{k^2 \binom{2k}{k}} \left(6H_{2k} - 10H_k + \frac{7}{k}\right) = 2\sqrt{3}\, \pi K$，将$K = L(2, \cdot/3)$与$\pi$及调和数联系起来。
• 通过对偶变换得到新级数$\sum_{k=0}^\infty (48k + 11) \frac{\binom{2k}{k} a_k^*}{260^k} = \frac{39\sqrt{65}}{8\pi}$，该级数由已知恒等式(I1)推导得出。