[论文解读] Construction of Forward Performance Processes in Stochastic Factor Models and an Extension of Widder's Theorem

Levon Avanesyan, Mykhaylo Shkolnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 4

一句话总结

该论文通过在股票-因子相关矩阵的特征值相等（EVE）结构下，反向求解不适定抛物型PDE，构建了不完整随机因子模型中具有幂效用初始数据的前向绩效过程。关键贡献在于对正特征函数推广了Widder定理，并通过拉普拉斯反演获得显式解，从而在仿射因子模型中实现时间一致的最优投资组合，其求解基于Riccati常微分方程。

ABSTRACT

We consider the problem of optimal portfolio selection under forward investment performance criteria in an incomplete market. Given multiple traded assets, the prices of which depend on multiple observable stochastic factors, we construct a large class of forward performance processes with power-utility initial data, as well as the corresponding optimal portfolios. This is done by solving the associated non-linear parabolic partial differential equations (PDEs) posed in the "wrong" time direction, for stock-factor correlation matrices with eigenvalue equality (EVE) structure, which we introduce here. Along the way we establish on domains an explicit form of the generalized Widder's theorem of Nadtochiy and Tehranchi [NT15, Theorem 3.12] and rely hereby on the Laplace inversion in time of the solutions to suitable linear parabolic PDEs posed in the "right" time direction.

研究动机与目标

• 通过引入随时间变化的前向绩效过程（FPPs），解决经典Merton投资组合优化的时间不一致性问题，使其能够适应市场条件的变化。
• 在由多个随机因子驱动的不完全市场中，为具有幂效用初始数据的FPP构建一个广泛类。
• 通过一种新颖的拉普拉斯反演技术，反向求解不适定的Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）PDE，即在错误的时间方向求解。
• 在定义域上建立关于正特征函数的推广Widder定理，扩展了文献中已有的结果。
• 在EVE假设下，通过Riccati常微分方程在仿射因子模型中提供显式解。

提出的方法

• 引入股票-因子相关矩阵的特征值相等（EVE）结构，以确保前向HJB PDE的可解性。
• 将线性抛物型PDE在正确时间方向下的解进行拉普拉斯反演，以构造不适定前向PDE的解。
• 采用指数-仿射假设 $ u(t,y) = \exp(\Phi(t)^T y + \Theta(t)) $，将HJB PDE约化为Riccati常微分方程组。
• 推导出Riccati常微分方程组：$ \dot{\Phi}_i + \frac{1}{2}L_i \Phi_i^2 + \sum_j (M+N)_{ij} \Phi_j + \frac{\Gamma}{2q} \Lambda_i = 0 $，其中 $ \dot{\Theta} $ 由 $ \Phi $ 确定。
• 运用推广的Widder定理，刻画前向绩效过程背景下正特征函数的性质。
• 在非负因子的仿射因子模型中验证该方法，此时HJB方程退化为具有仿射系数的线性抛物型PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有幂效用初始数据的不完整随机因子模型中系统地构建前向绩效过程？
• RQ2 在股票-因子相关矩阵的何种结构条件下，可以求解不适定的前向HJB PDE？
• RQ3 如何将推广的Widder定理扩展至定义域，以刻画该背景下正特征函数的性质？
• RQ4 在EVE假设下，能否通过Riccati常微分方程在仿射因子模型中获得显式解？
• RQ5 所提出的方法是否能产生时间一致的最优投资组合，使其在投资期限改变时仍保持最优？

主要发现

• 股票-因子相关矩阵上的特征值相等（EVE）结构，使得具有幂效用初始数据的前向绩效过程得以构建。
• 推广的Widder定理被扩展至定义域，通过拉普拉斯反演刻画了正特征函数的性质。
• 前向HJB PDE的解通过在正确时间方向下求解线性抛物型PDE的解并进行拉普拉斯反演而构造。
• 在仿射因子模型中，HJB方程退化为Riccati常微分方程组，当 $ M $ 和 $ N $ 为对角矩阵时可显式求解。
• 对每个因子，推导出解 $ \Phi_i(t) = \frac{z_{+,i} - \chi_i z_{-,i} e^{-\sqrt{D_i}t}}{1 - \chi_i e^{-\sqrt{D_i}t}} $，其中 $ D_i = (M_{ii}+N_{ii})^2 - L_i \frac{\Gamma}{q} \Lambda_i $。
• 最优投资组合具有时间一致性，即在 $[0,T_2]$ 上的前向策略限制在 $[0,T_1]$ 上，恰好等于 $[0,T_1]$ 上的最优策略。