[论文解读] Construction of the Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT from conformal field theory

Jørgen Ellegaard Andersen, Kenji Ueno|arXiv (Cornell University)|Oct 23, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 22被引用 16

一句话总结

本文通过无限 Hecke 代数上的 GNS 构造以及 Kanie 的几何同构，建立了基于 skein 理论实现的 $\mathrm{SU}(N)$ 在等级 $K$ 下的 Witten-Reshetikhin-Turaev 拓扑量子场论（TQFT）与由共形场论通过真空丛构造得到的模函子之间的显式同构，从而从共形场论角度完全几何化地实现了 WRT TQFT。

ABSTRACT

In [AU2] we constructed the vacua modular functor based on the sheaf of vacua theory developed in [TUY] and the abelian analog in [AU1]. We here provide an explicit isomorphism from the modular functor underlying the skein-theoretic model for the Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT due to Blanchet, Habbeger, Masbaum and Vogel to the vacua modular functor. This thus provides a geometric construction of the TQFT constructed first by Witten-Reshetikhin-Turaev from the quantum group associated to SL(N).

研究动机与目标

• 通过 $\mathfrak{sl}(N)$ 在等级 $K$ 下的真空丛构造，从共形场论角度几何化地构建 Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT。
• 在 $\mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)}$（基于 skein 理论的模函子）与 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$（真空模函子）之间建立显式同构。
• 验证该同构尊重所有模函子结构，包括分解与粘合操作，从而实现 WRT TQFT 的完全几何化。
• 确认该同构在标签上的标量选择下唯一，并且真空函子上的对偶结构可作为其推论得出。

提出的方法

• 利用 $\mathfrak{sl}(N)$ 的真空丛与文献 [33] 中的秩一幽灵理论，构造真空模函子 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$。
• 通过 Blanchet 构造的模张量范畴 $H^{\mathrm{SU}(N)}_K$，实现基于 skein 理论的模函子 $\mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)}$。
• 在无限 Hecke 代数上，利用马尔可夫迹应用 GNS 构造，识别两侧的表示。
• 利用 Wenzl 与 Kanie 的结果，在 $H^{\mathrm{SU}(N)}_K$ 中的态射空间与真空空间之间构造显式同构。
• 利用定理 6.4 与引理 4.1，验证该同构在亏格零情形下与分解和粘合操作的相容性。
• 利用定理 7.1 将亏格零的同构推广至所有亏格，该定理保证了在与粘合和不相交并集操作相容条件下的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过真空丛构造，从共形场论角度几何化地实现 $\mathrm{SU}(N)$ 在等级 $K$ 下的 Witten-Reshetikhin-Turaev TQFT？
• RQ2 在基于 skein 理论的模函子 $\mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)}$ 与真空模函子 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$ 之间是否存在一个典范同构？
• RQ3 该同构是否尊重所有亏格下模函子的分解与粘合结构？
• RQ4 在本情境中，GNS 构造在联系 skein 理论与共形场论方面起什么作用？
• RQ5 真空模函子 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$ 的对偶结构能否通过此同构几何地导出？

主要发现

• 构造了模函子之间的显式同构 $I_{N,K}: \mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)} \to \mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$，且该同构与所有结构操作相容。
• 该同构在标签集 $\Gamma_{N,K}$ 中每个标签上乘以非零复数标量的意义下唯一，且该不确定性已完全刻画。
• 该同构尊重分解同构，如定理 6.4 中的分解图交换性所示。
• 该同构在亏格零下与粘合操作相容，经定理 6.9 验证，确保了在不同曲面分解下的一致性。
• 通过定理 7.1 建立了模函子的完整同构，该定理将亏格零的同构推广至所有亏格。
• 真空模函子 $\mathcal{V}_{N,K}^{\dagger}$ 上的对偶结构现已被确认存在，作为其与携带对偶结构的 $\mathcal{V}_{K}^{\mathrm{SU}(N)}$ 同构的推论。