[论文解读] Contact pairs and locally conformally symplectic structures

Gianluca Bande, D. Kotschick|UNICA IRIS Institutional Research Information System (University of Cagliari)|Jun 2, 2010

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用 8

一句话总结

本文建立了类型 $(h,0)$ 的接触对与局部共形辛（lcs）结构之间的对应关系，表明此类接触对通过 $d\alpha + \alpha \land \beta$ 生成 lcs 形式。证明了正规度量接触对等价于非凯勒 Vaisman 结构，从而对具有非负 Kodaira 亏格的紧致复曲面给出了 Vaisman 结构的分类，并构造了具有 lcs 结构但无 lcK 结构的新例子。

ABSTRACT

We discuss a correspondence between certain contact pairs on the one hand, and certain locally conformally symplectic forms on the other. In particular, we characterize these structures through suspensions of contactomorphisms. If the contact pair is endowed with a normal metric, then the corresponding lcs form is locally conformally Kaehler, and, in fact, Vaisman. This leads to classification results for normal metric contact pairs. In complex dimension two we obtain a new proof of Belgun's classification of Vaisman manifolds under the additional assumption that the Kodaira dimension is non-negative. We also produce many examples of manifolds admitting locally conformally symplectic structures but no locally conformally Kaehler ones.

研究动机与目标

• 建立类型 $(h,0)$ 的接触对与局部共形辛（lcs）形式之间的对应关系。
• 通过具有接触微分同胚单值的圆丛，刻画 admits 广义接触对类型 $(h,0)$ 的闭流形。
• 对正规度量接触对进行分类，并将其与复维数为二时的 Vaisman 结构联系起来。
• 构造具有 lcs 结构但无局部共形凯勒（lcK）结构的流形的例子。
• 在非负 Kodaira 亏格的假设下，为 Belgun 关于 Vaisman 复曲面的分类提供新的证明。

提出的方法

• 将类型 $(h,0)$ 的广义接触对定义为满足 $d\beta = 0$ 且 $\alpha \land (d\alpha)^h \land \beta$ 为体积形式的对 $(\alpha, \beta)$。
• 将 Reeb 分布 $\mathcal{R}$ 定义为满足 $(i_Y d\alpha)|_{\ker \alpha \cap \ker \beta} = 0$ 的向量场 $Y$ 的集合，其为光滑的秩二分布。
• 将 Reeb 向量场 $A$ 和 $B$ 定义为唯一满足 $\alpha(A) = \beta(B) = 1$，$\alpha(B) = \beta(A) = 0$ 且切于 $\mathcal{R}$ 的向量场。
• 从类型 $(h,0)$ 的接触对构造 lcs 形式 $\omega = d\alpha + \alpha \land \beta$，并证明其满足 $d\omega = \omega \land \theta$，其中 $\theta = \alpha$。
• 使用悬垂构造法，证明具有广义接触对类型 $(h,0)$ 的闭流形是纤维化于圆周上的流形，其纤维为接触流形，单值为接触微分同胚。
• 证明正规度量接触对（具有相容复结构 $J$、$T$ 和度量 $g$）通过基本形式 $d\alpha \pm \alpha \land \beta$ 恰好对应于非凯勒 Vaisman 结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，局部共形辛形式可由类型 $(h,0)$ 的接触对生成？
• RQ2 广义接触对类型 $(h,0)$ 与具有接触微分同胚单值的圆丛之间有何关系？
• RQ3 正规度量接触对与 Vaisman 结构之间存在何种关系？
• RQ4 哪些具有非负 Kodaira 亏格的紧致复曲面 admits Vaisman 结构？
• RQ5 能否构造出具有 lcs 结构但无 lcK 结构的流形？

主要发现

• 广义接触对类型 $(h,0)$ 生成局部共形辛形式 $\omega = d\alpha + \alpha \land \beta$，其 Lee 形式为 $\theta = \alpha$。
• 具有广义接触对类型 $(h,0)$ 的闭流形恰好是那些纤维化于圆周上、纤维为接触流形且单值为接触微分同胚的流形。
• 类型 $(h,0)$ 的正规度量接触对等价于非凯勒 Vaisman 结构，其基本形式 $d\alpha \pm \alpha \land \beta$ 即为相应的 lcs 形式。
• 在复维数为二时，本文在非负 Kodaira 亏格的假设下，为 Belgun 关于 Vaisman 流形的分类提供了新的证明。
• 作者通过使用 $b_1 = 0$ 且基本群非凯勒的对称辛 4-流形的 Blowing up 的扭量空间，构造了具有 lcs 结构但无 lcK 结构的流形的新例子。
• 对于具有非负 Kodaira 亏格且 admits Vaisman 结构的紧致复曲面，其可能性仅限于：具有 $\mathbb{H} \times \mathbb{H}$ 几何的全一般型曲面，具有偶数 $b_1$ 且具有 $\mathbb{C} \times \mathbb{H}$ 几何的恰当椭圆曲面，以及具有 $\mathbb{C} \times \mathbb{C}$ 几何的环面/超椭圆曲面。