[论文解读] Contact Structures on G_2-Manifolds and Spin 7-Manifolds

M. Firat Arikan, Hyunjoo Cho+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文构建了无穷多个彼此不同的非紧致 G₂-流形——其中一些具有完整的 G₂ 丛连通性——这些流形具有共定向的接触结构，且嵌入的 associative 3-流形作为接触子流形。通过在 spin 7-流形中的 3-流形上对接触结构进行管状邻域延拓，作者证明了任意一个定向 3-子流形上的共定向接触结构均可延拓为 G₂-流形邻域上的接触结构，从而在不依赖结构相容性的情况下，构造出兼容的 G₂ 与接触几何的新例子。

ABSTRACT

We show that there exist infinitely many pairwise distinct non-closed G_2-manifolds (some of which have holonomy full G_2) such that they admit co-oriented contact structures and have co-oriented contact submanifolds which are also associative. Along the way, we prove that there exists a tubular neighborhood N of every orientable three-submanifold Y of an orientable seven-manifold with spin structure such that for every co-oriented contact structure on Y, N admits a co-oriented contact structure such that Y is a contact submanifold of N. Moreover, we construct infinitely many pairwise distinct non-closed seven-manifolds with spin structures which admit co-oriented contact structures and retract onto co-oriented contact submanifolds of co-dimension four.

研究动机与目标

• 构建无穷多个彼此不同的非紧致 G₂-流形，其具有完整的 G₂ 丛连通性，并允许共定向的接触结构。
• 证明在 spin 7-流形中的任意定向 3-子流形上的共定向接触结构，可延拓为该子流形的管状邻域上的共定向接触结构。
• 证明存在 7-流形，其具有旋量结构，且可收缩到余维四的共定向接触子流形。
• 提供显式构造，使得 G₂-流形中的 associative 子流形同时也是接触子流形，且不依赖于结构相容性。

提出的方法

• 利用文献 [11] 中的结果，将任意闭合、定向、实解析的 3-流形 Y 及其上的接触结构嵌入到 G₂-流形 M 中，使其成为 associative 子流形。
• 利用 Y 在 M 中的管状邻域微分同胚于 Y × ℝ⁴ 的事实，实现接触结构的局部延拓。
• 应用引理 2.1，将 Y 上的共定向接触结构 ξ 延拓为 Y × ℝ⁴ 上的共定向接触结构 η，使得 Y 成为 (Y × ℝ⁴, η) 中的接触子流形。
• 通过选择具有非平坦接触度量的 Y，确保完整的 G₂ 丛连通性，依据定理 3.6，当度量非平坦时，丛连通性恰好为 G₂。
• 依赖于已知存在的 3-流形，其上存在具有非平坦关联度量的接触结构，此类流形在先前结果中已被证明存在。
• 利用 G₂-流形的旋量结构以及 3-流形的平行化性质，确保乘积 Y × ℝ⁴ 继承旋量结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 spin 7-流形中的任意定向 3-子流形 Y 上的共定向接触结构，是否可延拓为 Y 的管状邻域上的共定向接触结构？
• RQ2 是否存在无穷多个彼此不同的非紧致 G₂-流形，其具有完整的 G₂ 丛连通性，允许共定向接触结构，并包含 associative 子流形作为接触子流形？
• RQ3 是否存在具有旋量结构的 7-流形，其可收缩到余维四的共定向接触子流形，同时允许相容的接触结构？
• RQ4 是否可能构造具有完整 G₂ 丛连通性的 G₂-流形，使其支持接触结构，且其中嵌入的 associative 3-流形亦为接触子流形？

主要发现

• 存在无穷多个彼此不同的非紧致 G₂-流形，其具有完整的 G₂ 丛连通性，允许共定向接触结构，并包含 associative 3-子流形作为接触子流形。
• 对于 spin 7-流形中任意定向 3-子流形 Y，Y 上的共定向接触结构可延拓为管状邻域 N ≈ Y × ℝ⁴ 上的共定向接触结构。
• 当 Y 为定向且平行化时，乘积 Y × ℝ⁴ 继承旋量结构，而所有闭合 3-流形均满足此条件。
• 存在无穷多个彼此不同的具有旋量结构的 7-流形，其可收缩到余维四的共定向接触子流形，并允许相容的共定向接触结构。
• 通过选择具有非平坦接触度量的 3-流形，可构造出具有完整 G₂ 丛连通性的 G₂-流形，从而确保丛连通性恰好为 G₂。
• 接触结构向管状邻域的延拓独立于 G₂-结构，从而可构造出兼容但非复合的几何结构。