[论文解读] Context-free grammars for several polynomials associated with Eulerian polynomials

Shi-Mei Ma, Jun Ma+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2016

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文引入上下文无关语法，为 $q$-Eulerian 多项式、交错运行多项式以及类型 A 和 B 的错位多项式提供组合性、语法性的描述。通过在标记排列上使用形式导数，作者推导出显式的生成函数与卷积公式，借助语法标记与微分算子，建立这些多项式统一的框架。

ABSTRACT

In this paper, we present grammatical descriptions of several polynomials associated with Eulerian polynomials, including q-Eulerian polynomials, alternating run polynomials and derangement polynomials. As applications, we get several convolution formulas involving these polynomials.

研究动机与目标

• 通过上下文无关语法，为类型 A 和 B 的 $q$-Eulerian 多项式建立语法描述。
• 将语法方法扩展至类型 B 的交错运行多项式与错位多项式。
• 通过一致的标记与导数框架，统一这些多项式背后的组合结构。
• 利用形式导数算子，推导这些多项式的卷积公式与生成函数。

提出的方法

• 在字母表 $A = \{x, y, z, e\}$ 上定义一个上下文无关语法 $G$，其产生规则为 $x \to xy^2$，$y \to x^2y$，$z \to x^2y^2z^{-3}$，$e \to qez^4$。
• 对由排列导出的单项式应用形式导数 $D$，其中 $D$ 按照语法规则执行微分操作。
• 根据超越数、反超越数、单点与循环数，分别对排列进行 $x$、$y$、$z$ 和 $q$ 的标记。
• 利用 $D^n(e)$ 的作用，生成编码统计量如 $\text{wexc}(\pi)$、$\text{aexc}(\pi)$、$\text{single}(\pi)$ 与 $\text{cyc}(\pi)$ 的多项式。
• 通过微分方程推导出生成函数，如 $G(x,y;t) = \frac{e^{(1-2x)t}}{1 - \frac{x}{y-x}(e^{2(y-x)t} - 1)}$。
• 通过分析 $D^n(e)$ 及其各组成部分的结构，建立递推关系与卷积恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用上下文无关语法生成包含循环与负号统计量的类型 B $q$-Eulerian 多项式？
• RQ2 类型 B 交错运行多项式的语法结构是什么？它如何通过形式导数推导得出？
• RQ3 是否存在一个统一的语法标记系统，能够描述类型 B 错位多项式在超越数、反超越数与循环数方面的性质？
• RQ4 从这些多项式的语法表达的形式导数中，会涌现出哪些卷积公式？
• RQ5 这些多项式的生成函数如何与微分方程及指数生成函数相关联？

主要发现

• 形式导数 $D^n(e)$ 生成类型 B 错位多项式 $d_n^B(x)$，其中 $D^n(e) = e \sum_{\pi \in \mathcal{D}_n^B} x^{2\text{wexc}(\pi)} y^{2\text{aexc}(\pi)} z^{4\text{single}(\pi)} q^{\text{cyc}(\pi)}$。
• 推导出一个卷积公式：$d_{n+1}^B(x) = d_n^B(x) + x \sum_{k=0}^{n-1} 2^{n-k+1} \binom{n}{k} d_k^B(x) A_{n-k}(x)$。
• 生成函数 $G(x,y;t) = \frac{e^{(1-2x)t}}{1 - \frac{x}{y-x}(e^{2(y-x)t} - 1)}$ 被证明满足由语法规则导出的微分方程。
• 递推关系 $d(n+1,i,j) = d(n,i,j) + 2id(n,i,j-1) + 2jd(n,i-1,j) + 4(n-i-j+2)d(n,i-1,j-1)$ 成立，初始条件为 $d(1,0,0) = 1$。
• 包含额外参数 $u,v,z$ 的生成函数为 $\frac{e^{(vz - (u+v)x)t}}{1 - \frac{x}{y-x}(e^{(u+v)(y-x)t} - 1)}$，将模型扩展至包含符号数与正元素数。
• 语法 $G = \{x \to xy^2, y \to x^2y, z \to x^2y^2z^{-3}, e \to qez^4\}$ 通过 $D^n(e)$ 生成所有类型 B 错位排列，并附带标记的统计量。