[论文解读] Continuous-time trading and the emergence of probability

Vladimir Vovk|RePEc: Research Papers in Economics|Apr 28, 2009

Economic theories and models被引用 6

一句话总结

本文通过证明在连续交易协议中，典型的价格路径具有二次变差，为连续时间金融中的概率建立了一个非随机的、博弈论的基础。当时间被替换为二次变差时，价格路径在不先验假设概率测度的情况下收敛到布朗运动——因此，维纳测度自然地从交易策略和资本增长中浮现，类似于杜宾-施瓦茨定理，但无需概率假设。

ABSTRACT

This paper establishes a non-stochastic analogue of the celebrated result by Dubins and Schwarz about reduction of continuous martingales to Brownian motion via time change. We consider an idealized financial security with continuous price path, without making any stochastic assumptions. It is shown that typical price paths possess quadratic variation, where "typical" is understood in the following game-theoretic sense: there exists a trading strategy that earns infinite capital without risking more than one monetary unit if the process of quadratic variation does not exist. Replacing time by the quadratic variation process, we show that the price path becomes Brownian motion. This is essentially the same conclusion as in the Dubins-Schwarz result, except that the probabilities (constituting the Wiener measure) emerge instead of being postulated. We also give an elegant statement, inspired by Peter McCullagh's unpublished work, of this result in terms of game-theoretic probability theory.

研究动机与目标

• 为连续时间金融市场的概率建立一个非随机基础，避免事先假设概率测度。
• 证明维纳测度——随机分析的核心——可仅从市场动态和交易策略中自然浮现。
• 利用博弈论概率，对连续价格路径的变差指数和样本路径性质进行推广和强化。
• 仅通过资本增长和风险约束，提供一种基于时间变换的构造性方法，将价格路径转换为布朗运动，时间以二次变差定义。
• 在单一一致的框架下统一并扩展先前关于连续路径（例如，无孤立零点、二次变差）的研究结果。

提出的方法

• 采用两名玩家的博弈论协议：市场（设定价格区间）和交易者（执行策略），不作任何概率假设。
• 通过存在资本增长策略来定义事件的上界和下界价格，将“概率为一”替换为“无破产风险”。
• 应用高频限价单策略，模拟连续时间交易，并推导价格路径的性质。
• 引入基于二次变差的时间变换：当时间被价格路径的累积二次变差替代时，该过程成为布朗运动。
• 基于指数鞅构造超资本过程，证明在任意路径下，某些过程为上鞅。
• 利用彼得·麦卡利斯特的似然性思想：仅在时间变换下不变的事件上，概率才浮现，从而实现维纳测度的自然定义。

实验结果

研究问题

• RQ1 维纳测度能否在不预先假设概率测度的前提下，从连续交易协议中自然浮现？
• RQ2 在博弈论框架下，连续价格路径在何种条件下具有二次变差？
• RQ3 如何在不假设概率的非随机设定下，重构杜宾-施瓦茨定理？
• RQ4 基于二次变差的时间变换在将一般连续价格路径转化为布朗运动的过程中起什么作用？
• RQ5 在时间变换下的不变性性质如何与博弈论概率中概率的浮现相关联？

主要发现

• 在博弈论框架中，典型连续价格路径具有二次变差，这通过一种交易策略得到证明：除非路径缺乏二次变差，否则该策略可获得无限资本。
• 当时间被替换为二次变差时，价格路径与布朗运动不可区分，维纳测度作为不变事件的上界和下界价格自然浮现。
• 主要结果（定理3.1）表明，对于不变事件，上界和下界价格相等且等于维纳测度，即使未假设概率测度。
• 构造性版本（定理5.1）表明，以二次变差作为时间的时变价格路径成为布朗运动，提供了直接且算法化的转换方式。
• 该结果推广并包含了早期关于变差指数（2）和路径正则性（如无孤立零点）的发现作为特例。
• 期刊版本强化了主要结果（定理6.3），并补充了关于不完全市场和连续时间协议中概率浮现的澄清。