[论文解读] Coherent Price Systems and Uncertainty-Neutral Valuation

Patrick Beißner|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文通过引入子线性价格体系和基于 G-布朗运动的不确定性中性定价，构建了在波动率不确定性下的金融市场的统一估值框架。在 G-期望下，证明了等价对称鞅测度集（EsMM 集）的存在性，将资产定价基本定理推广至多重互异先验的场景，实现了在模型模糊性下的无套利定价。

ABSTRACT

We consider fundamental questions of arbitrage pricing arising when the uncertainty model is given by a set of possible mutually singular probability measures. With a single probability model, essential equivalence between the absence of arbitrage and the existence of an equivalent martingale measure is a folk theorem, see Harrison and Kreps (1979). We establish a microeconomic foundation of sublinear price systems and present an extension result. In this context we introduce a prior dependent notion of marketed spaces and viable price systems. We associate this extension with a canonically altered concept of equivalent symmetric martingale measure sets, in a dynamic trading framework under absence of prior depending arbitrage. We prove the existence of such sets when volatility uncertainty is modeled by a stochastic differential equation, driven by Peng's G-Brownian motions.

研究动机与目标

• 为解决单一概率模型在模型不确定性下的金融估值局限性。
• 在存在多重互异先验的条件下，为子线性价格体系提供微观经济基础。
• 通过引入与先验相关的可行价格体系概念，将资产定价基本定理推广至具有波动率不确定性的场景。
• 在先验相关无套利条件下，证明 G-期望下等价对称鞅测度集（EsMM 集）的存在性。
• 为 G-布朗运动提供一种 Girsanov 类型变换，实现在子线性期望框架下的测度变换。

提出的方法

• 通过一组互异的概率测度建模不确定性，代表非支配先验和不可约的不确定性。
• 利用彭实敦的 G-布朗运动构建子线性期望框架，以捕捉波动率模糊性。
• 定义了一种新的套利概念——P-套利，即某项资产在所有先验 P 中成本非正、收益非负，且至少在一个先验中收益严格为正。
• 将等价鞅测度概念的规范推广至 EsMM 集，该集合在集合内所有先验中均保持对称且一致。
• 应用 G-期望下的 Girsanov 定理，使用类似 Novikov 的条件，确保在变换测度下存在新的子线性期望。
• 利用 G-期望下的鞅表示定理，将 G-鞅刻画为带有非对称漂移项 (−Kt) 的随机积分，其中 (−Kt) 本身也是一个 G-鞅。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的资产定价基本定理推广至具有多重互异先验的市场？
• RQ2 在波动率不确定性下的子线性期望框架中，鞅与等价测度的恰当概念是什么？
• RQ3 在 G-框架下，EsMM 集（等价对称鞅测度集）存在的条件是什么？
• RQ4 如何构造一个 Girsanov 类型变换，以实现在 G-期望设定下的测度变换？
• RQ5 非对称过程 −Kt 在 G-鞅表示中的作用是什么？它与经典 Itô 过程有何不同？

主要发现

• 在波动率不确定性通过由 G-布朗运动驱动的随机微分方程建模的条件下，证明了 EsMM 集的存在性。
• G-鞅被刻画为如下形式的随机过程：$ M_t = x + \bigint_0^t z_s dB^G_s + \bigint_0^t \theta_s d\ngle B^G \rangle_s - \bigint_0^t 2G(\theta_s) ds $，其中漂移项确保了子线性性。
• 过程 $ -K_t = \bigint_0^t \eta_s d\langle B\rangle_s - \bigint_0^t 2G(\eta_s) ds $ 是一个连续的、非增的 G-鞅，且其二次变差为零。
• 在 G-期望下的鞅表示定理确保，任意 $ L^2_G $-随机变量均可唯一分解为随机积分与非对称漂移项之和。
• 在类似 Novikov 的条件下建立了 Girsanov 类型定理：$ E_G[\exp((\frac{1}{2}+\varepsilon)\int_0^T \theta^2_s d\langle B^G\rangle_s)] < \infty $，确保变换后的过程 $ B^\theta_t = B^G_t - \int_0^t \theta_s d\langle B^G\rangle_s $ 在新的子线性期望下仍为 G-布朗运动。
• 新测度 $ \mathcal{P}^\theta $ 定义为 $ \mathcal{E}^\theta(X) = E_G[\mathtt{E}^\theta_T \cdot X] $，其中 $ \mathtt{E}^\theta $ 满足 $ d\mathtt{E}^\theta_t = \mathtt{E}^\theta_t \theta_t dB^G_t $，且 $ \mathtt{E}^\theta_0 = 1 $。