[论文解读] Convergence of transport noise to Ornstein-Uhlenbeck for 2D Euler equations under the enstrophy measure

Franco Flandoli, Dejun Luo|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2018

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一句话总结

本文证明，当通过与 $ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $ 成比例的发散噪声系数进行缩放时，带有输运型噪声的随机2D欧拉方程在涡度测度下弱收敛于由时空白噪声驱动的2D纳维-斯托克斯方程。该收敛表明，具有发散噪声修正的双曲型随机动力系统，由于非线性项中的抵消效应，可产生抛物型极限行为。

ABSTRACT

We consider the vorticity form of the 2D Euler equations which is perturbed by a suitable transport type noise and has white noise initial condition. It is shown that, under certain conditions, this equation converges to the 2D Navier-Stokes equation driven by the space-time white noise.

研究动机与目标

• 研究当噪声强度对数发散时，带有输运型噪声的2D欧拉方程的极限行为。
• 确定噪声中发散的伊藤-斯特拉托诺维奇修正是否可通过趋于零的系数补偿，以获得抛物型极限。
• 在涡度测度下，建立随机欧拉解弱收敛于具有时空白噪声的纳维-斯托克斯方程。
• 在不变测度框架下，分析非线性漂移项在极限中的行为，特别是其相对于扩散部分的主导性。

提出的方法

• 以涡度形式表述2D欧拉方程，引入由向量场 $ \sigma_k = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{k^\perp}{|k|^2} e_k $ 驱动的伊藤-斯特拉托诺维奇型输运噪声。
• 引入缩放因子 $ \varepsilon_N = \left( \sum_{|k| \leq N} |k|^{-2} \right)^{-1/2} \sim 1/\sqrt{\log N} $ 以正则化发散的噪声振幅。
• 应用伊藤-斯特拉托诺维奇修正，将伊藤-斯特拉托诺维奇噪声转换为伊藤形式，揭示极限中出现拉普拉斯型扩散项。
• 使用伽辽金逼近法求解相关柯尔莫哥洛夫方程并分析不变测度。
• 采用分解公式并在索伯列夫空间 $ H^{-2-\delta} $ 中进行估计，以控制非线性漂移项 $ b_N(\omega) $ 对 $ b(\omega) $ 的收敛性。
• 证明当 $ N \to \infty $ 时，有 $ \mathbb{E}_\mu \left[ \| b_N(\omega) - b(\omega) \|_{H^{-2-\delta}}^2 \right] \to 0 $，从而证明了概率测度的弱收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \gamma = 2 $ 时，2D欧拉方程中发散的噪声修正在经由 $ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $ 缩放后，是否能产生一个定义良好的极限？
• RQ2 双曲型随机欧拉方程是否能弱收敛于具有时空白噪声的抛物型纳维-斯托克斯方程？
• RQ3 在极限中，非线性漂移项的行为如何？其在不变测度中是否主导扩散项？
• RQ4 在涡度测度下，非线性漂移在索伯列夫范数下的收敛速率如何？

主要发现

• 经 $ \varepsilon_N \sim 1/\sqrt{\log N} $ 缩放的随机2D欧拉方程解，弱收敛于具有时空白噪声的2D纳维-斯托克斯方程解。
• 尽管原始方程为双曲型，但极限方程表现出抛物型结构（拉普拉斯项），这是由于噪声修正中存在抵消效应。
• 非线性漂移项 $ b_N(\omega) $ 在 $ L^2(\mu; H^{-2-\delta}) $ 中收敛至 $ b(\omega) $，其收敛速率受 $ \sum_{|j| \geq N} \frac{\log|j|}{|j|^{2+2\delta}} \to 0 $ 控制。
• 在生成元 $ \mathcal{L}_\infty $ 中，非线性部分并不被扩散部分主导，因为 $ \mathbb{E}_\mu[\langle b(\omega), DF \rangle^2] \leq C|j|^2 \log|j| $，而扩散项仅贡献 $ 4\pi^2|j|^2 $。
• 通过 $ L^2 $-范数控制和控制收敛定理，建立了 $ \mathbb{E}_\mu[\|b_N - b\|_{H^{-2-\delta}}^2] \to 0 $ 当 $ N \to \infty $ 时。
• 结果表明，涡度测度在极限纳维-斯托克斯动力系统下保持不变，且该收敛对 $ \nu $ 不过小的情形成立。