[论文解读] Strong-Feller property for Navier-Stokes equations driven by space-time white noise

Rongchan Zhu, Xiangchan Zhu|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用 6

一句话总结

本文利用正规化结构理论，为受空间-时间白噪声驱动的二维和三维纳维-斯托克斯方程所关联的马尔可夫半群建立了强费勒性质。通过证明强费勒性质，作者确保了对于 Hölder 空间 $\mathcal{C}^{\eta}$ 中任意初始条件（$\eta \in (-\frac{1}{2}, 0)$）均存在全局解，从而将适定性结果从几乎必然的初始数据扩展至所有初始条件。

ABSTRACT

In this paper we prove strong Feller property for the Markov semigroups associated to the two or three dimensional Navier-Stokes (N-S) equations driven by space-time white noise using the theory of regularity structures introduced by Martin Hairer in [Hai14]. This implies global well-posedness of 2D N-S equation driven by space-time white noise starting from every initial point in $C^η$ for $η\in (-\frac{1}{2},0)$.

研究动机与目标

• 建立受空间-时间白噪声驱动的二维和三维随机纳维-斯托克斯方程所生成的马尔可夫半群的强费勒性质。
• 将全局适定性结果从几乎必然的初始数据扩展至 $\mathcal{C}^{\eta}$ 空间中所有初始条件（$\eta \in (-\frac{1}{2}, 0)$）。
• 克服由于纳维-斯托克斯方程中存在勒雷投影而导致先前抽象结果无法直接适用的问题。
• 利用正规化结构理论与拟控分布方法，构建并分析解半群。

提出的方法

• 作者应用文献 [17, 第2节] 中的强费勒性质抽象框架，并将其适配于随机纳维-斯托克斯设定。
• 他们采用马丁·海勒的正规化结构理论，为带有空间-时间白噪声的病态三维纳维-斯托克斯方程赋予严格意义。
• 该构造依赖于拟控分布与重整化技术，以处理奇异噪声和非线性项。
• 该方法涉及证明解映射在初始条件与噪声路径上的联合连续性及 Fréchet 可微性。
• 该框架包含一个可测的、局部 Lipschitz 连续的爆炸时间控制，通过下确界连续函数 $r_t$ 实现。
• 建立了马尔可夫半群的存在性，并从导数结构与噪声作用之间的相容性推导出其强费勒性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 受空间-时间白噪声驱动的二维和三维纳维-斯托克斯方程所关联的马尔可夫半群是否满足强费勒性质？
• RQ2 能否保证对于所有初始条件 $u_0 \in \mathcal{C}^{\eta}$（$\eta \in (-\frac{1}{2}, 0)$）均存在全局解，而不仅是在几乎必然的意义下？
• RQ3 尽管存在阻碍先前抽象结果直接应用的勒雷投影，是否仍可建立强费勒性质？
• RQ4 正规化结构理论如何促进该奇异 SPDE 解半群的构造与分析？

主要发现

• 受空间-时间白噪声驱动的二维和三维纳维-斯托克斯方程所关联的马尔可夫半群满足强费勒性质。
• 对于所有初始条件 $u_0 \in \mathcal{C}^\eta$（$\eta \in (-\frac{1}{2}, 0)$）均建立了全局时间存在性，而不仅是在几乎必然的意义下。
• 二维方程的不变测度是 $\mathcal{C}^\eta$ 上具有全支撑的高斯测度，且强费勒性质确保了该空间中所有初始点的爆炸时间几乎必然为无穷。
• 解映射在初始条件上是联合连续且 Fréchet 可微的，从而支持渐近耦合与遍历性论证。
• 该方法成功地将 [17] 中的抽象强费勒框架适配于纳维-斯托克斯设定，尽管存在非线性和投影结构。
• 结果表明，正规化结构方法在处理具有复杂非线性和乘性噪声的奇异 SPDE 时具有强大鲁棒性。