[论文解读] Convergence to stable limits for ratios of trimmed Levy processes and their jumps

Yuguang Ipsen, Péter Kevei+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2017

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 12被引用 5

一句话总结

该论文在稳定分布吸引域条件下，建立了当时间 t↓0 时，r-截断 Lévy 过程与其 r 个最大跳跃之比的联合分布收敛性。它推导了给定最大跳跃的条件分布的特征函数恒等式，并证明了这些比值收敛于极限稳定过程中的对应量，推广了关于子调和过程的先前结果，得到了在无限单纯形上的新离散分布。

ABSTRACT

We derive characteristic function identities for conditional distributions of an r-trimmed Levy process given its r largest jumps up to a designated time t. Assuming the underlying Levy process is in the domain of attraction of a stable process as t goes to 0, these identities are applied to show joint convergence of the trimmed process divided by its large jumps to corresponding quantities constructed from a stable limiting process. This generalises related results in the 1-dimensional subordinator case developed in Kevei & Mason (2014) and produces new discrete distributions on the infinite simplex in the limit.

研究动机与目标

• 推导 r-截断 Lévy 过程在给定其 r 个最大跳跃条件下的条件分布的特征函数恒等式。
• 建立当时间 t↓0 时，截断过程与其第 r 个最大跳跃之比的联合收敛性。
• 将 Kevei & Mason (2014) 关于一维子调和过程的先前结果推广至稳定分布吸引域中的多维 Lévy 过程。
• 以广义泊松-狄利克雷分布 PDα(r)（0<α<1）的形式表征极限分布，并通过中心化处理 α>1 的情形。
• 将结果推广至一般 Lévy 测度，无需对 Lévy 测度的连续性或密度性假设。

提出的方法

• 利用 Lévy-Itô 分解和 Lévy 测度的性质，推导出给定其 r 个最大跳跃时，r-截断 Lévy 过程条件分布的精确特征函数恒等式。
• 将这些恒等式应用于分析截断过程与其大跳跃之比的特征函数。
• 利用吸引域条件确保当 t↓0 时，Lévy 过程收敛于稳定分布。
• 采用正规变体和逆尾函数技术（例如 Π̄⁺←）来控制 Lévy 测度在零附近的性质。
• 通过积分估计和特征函数指数的渐近分析，建立归一化截断过程拉普拉斯变换的统一有界性。
• 应用 Fatou 引理和依概率收敛性，证明随着截断跳跃数的增加，归一化截断过程依概率收敛于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 当过程处于稳定分布吸引域中时，r-截断 Lévy 过程与其第 r 个最大跳跃之比在时间 t↓0 时的行为如何？
• RQ2 当 t↓0 时，截断过程与其 r 个最大跳跃之比的极限联合分布是什么？
• RQ3 该极限分布与广义泊松-狄利克雷分布 PDα(r)（0<α<1）有何关系？
• RQ4 对于 α>1 的情形（此时过程不是子调和过程，且与泊松-狄利克雷分布无直接联系），需要进行哪些修改？
• RQ5 结果能否推广至一般 Lévy 测度的 Lévy 过程，而无需假设 Lévy 测度的连续性或密度性？

主要发现

• 当 t↓0 时，r-截断 Lévy 过程与其 r 个最大跳跃之比的联合分布弱收敛于极限稳定过程构造的对应比值。
• 当 0<α<1 时，极限分布为广义泊松-狄利克雷分布 PDα(r)，其包含 PD(α,0) 分布作为特例。
• 当 α>1 时，必须对过程进行适当的中心化才能实现收敛，且极限分布与泊松-狄利克雷分布无直接关联。
• 收敛性在 t∈(0,t₀] 上一致成立，且当截断跳跃数增加时，归一化截断过程在概率意义下收敛。
• 证明依赖于通过 Lévy 测度和逆尾函数的渐近分析所导出的归一化截断过程拉普拉斯变换的统一有界性。
• 结果将 Kevei & Mason (2014) 关于子调和过程的工作推广至无 Lévy 测度连续性假设的一般 Lévy 过程。