[论文解读] The limit distribution of ratios of jumps and sums of jumps of subordinators

Péter Kevei, M Mason David|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用 11

一句话总结

本文建立了当 $ t \downarrow 0 $ 或 $ t \to \infty $ 时，涉及子ordinator中跳跃与截断和的比值 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 和 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ 的极限分布的必要且充分条件。关键结果表明，渐近行为由 Lévy测度尾部 $ \overline{\Lambda} $ 的正则变异性决定，根据在零点或无穷远处的变异性指数或快速变异性，收敛结果可能为 Beta 分布、退化极限或发散。

ABSTRACT

Let $V_{t}$ be a driftless subordinator, and let denote $m_{t}^{(1)} \geq m_{t}^{(2)} \geq\ldots$ its jump sequence on interval $[0,t]$. Put $V_{t}^{(k)} = V_{t} - m_{t}^{(1)} - \ldots- m_{t}^{(k)}$ for the $k$-trimmed subordinator. In this note we characterize under what conditions the limiting distribution of the ratios $V_{t}^{(k)} / m_{t}^{(k+1)}$ and $m_{t}^{(k+1)} / m_{t}^{(k)}$ exist, as $t \downarrow0$ or $t o\infty$.

研究动机与目标

• 确定无 drift 的子ordinator 中比值 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 在 $ t \downarrow 0 $ 或 $ t \to \infty $ 时的极限分布。
• 在相同渐近情形下，刻画连续有序跳跃比值 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $（$ k \geq 1 $）的极限行为。
• 基于正则变异性与 Tauberian 型论证，建立 Lévy 测度尾部 $ \overline{\Lambda} $ 的收敛分布的必要且充分条件。
• 将 i.i.d. 非负随机变量的经典结果推广至 Lévy 过程框架，特别是针对无限跳跃活动的子ordinator。

提出的方法

• 利用 Laplace 变换并分析 Lévy 测度尾部 $ \overline{\Lambda}(x) = \Lambda((x,\infty)) $，推导极限分布律。
• 应用正则变异性理论与 Tauberian 定理，刻画跳跃比值的收敛性。
• 引入函数 $ \psi(s) = \sup\{y : \overline{\Pi}(y) > s\} $，将跳跃大小的渐近行为与 Lévy 测度 $ \Pi $ 的尾部联系起来。
• 构造一个严格递减序列 $ \{z_n\} \subset \mathcal{A} $，满足 $ z_n \to 0 $，且 $ \overline{\Pi}(z_{n+1}) / \overline{\Pi}(z_n) \to 1 $，以验证正则变异性。
• 利用反函数 $ \psi $ 分析比值 $ r_k(t) = \psi(S_{k+1}/t) / \psi(S_k/t) $，其中 $ S_k $ 为 i.i.d. 指数随机变量的和。
• 应用 Bingham 和 Teugels（1987）的定理 1.7.1，将 $ \psi $ 的渐近行为与 $ \overline{\Pi} $ 的正则变异性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 Lévy 测度尾部 $ \overline{\Lambda} $ 条件下，$ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 在 $ t \downarrow 0 $ 或 $ t \to \infty $ 时收敛于分布？
• RQ2 比值 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ 何时收敛于非退化极限，其极限分布为何？
• RQ3 跳跃比值的极限行为是否可由 $ \overline{\Lambda} $ 的正则变异性指数完全刻画？在慢变或快变情况下会发生什么？
• RQ4 是否存在 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 的极限分布为缺陷分布（即 $ \mathbb{P}(W_k = \infty) \in (0,1)) $ 的情况？还是这种情况不可能发生？
• RQ5 比值 $ r_k(t) = \psi(S_{k+1}/t)/\psi(S_k/t) $ 的渐近行为如何与 $ \overline{\Pi} $ 的变异性类相关联？对应的极限分布为何？

主要发现

• 若 $ \overline{\Lambda} $ 在 0 或 $ \infty $ 处正则变异性，指数为 $ -\alpha \in (-1,0) $，则比值 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} $ 依分布收敛于一个非退化随机变量，其 Laplace 变换为 $ g_k(\lambda) = \exp(-\lambda) / \left[1 + \alpha \int_0^1 (1 - e^{-\lambda y}) y^{-\alpha-1} dy \right]^{k+1} $。
• 若 $ \overline{\Lambda} $ 在 0 或 $ \infty $ 处为慢变，则 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} \to 1 $ 几乎必然，即极限退化于 1。
• 若当 $ x \downarrow 0 $ 或 $ x \to \infty $ 时有 $ \frac{x \overline{\Lambda}(x)}{\int_0^x u \Lambda(du)} \to 0 $，则 $ V_t^{(k)}/m_t^{(k+1)} \to \infty $ 在概率意义下成立，即极限几乎必然为无穷。
• 若 $ \overline{\Pi} $ 在 0 或 $ \infty $ 处正则变异性，指数为 $ -\alpha \in (-\infty, 0) $，则比值 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} $ 依分布收敛于 Beta$ (k\alpha, 1) $ 分布，其累积分布函数为 $ G_k(x) = x^{k\alpha} $，$ x \in [0,1] $。
• 若 $ \overline{\Pi} $ 在 0 或 $ \infty $ 处为慢变，则 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} \to 0 $ 几乎必然。
• 若 $ \overline{\Pi} $ 在 0 或 $ \infty $ 处为快速变异性，指数为 $ -\infty $，则 $ m_t^{(k+1)}/m_t^{(k)} \to 1 $ 几乎必然。