[论文解读] Convergent approximation of non-continuous surfaces of prescribed Gaussian curvature

Brittany D. Froese|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 28被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于逼近具有预定高斯曲率的非连续曲面的收敛有限差分格式，解决了由于弱狄利克雷边界条件导致标准比较原理失效的问题。通过引入粘性解的几何解释并证明一种松弛的内部比较原理，作者对Barles-Souganidis框架进行了修改，从而在区域内部建立了收敛性，数值示例验证了该方法在处理具有不连续性、梯度无界以及非经典边界解情况下的有效性。

ABSTRACT

We consider the numerical approximation of surfaces of prescribed Gaussian curvature via the solution of a fully nonlinear partial differential equation of Monge-Ampère type. These surfaces need not be continuous up to the boundary of the domain and the Dirichlet boundary condition must be interpreted in a weak sense. As a consequence, sub-solutions do not always lie below super-solutions, standard comparison principles fail, and existing convergence theorems break down. By relying on a geometric interpretation of weak solutions, we prove a relaxed comparison principle that applies only in the interior of the domain. We provide a general framework for proving existence and stability results for consistent, monotone finite difference approximations and modify the Barles-Souganidis convergence framework to show convergence in the interior of the domain. We describe a convergent scheme for the prescribed Gaussian curvature equation and present several challenging examples to validate these results.

研究动机与目标

• 开发一种稳健的数值框架，用于在经典解和边界条件不存在时逼近具有预定高斯曲率的曲面。
• 解决在Monge-Ampère方程的弱强制狄利克雷问题中标准比较原理失效的问题。
• 通过凸解的几何解释，证明粘性解的存在性与唯一性。
• 即使在边界行为非经典的情况下，也建立单调有限差分格式在区域内部的收敛性。
• 在具有不连续性、梯度奇异性和未实现边界数据的挑战性示例上验证该格式。

提出的方法

• 将预定高斯曲率问题表述为带有弱狄利克雷条件的全非线性Monge-Ampère PDE。
• 证明凸解对应于等价无约束PDE的粘性解，从而实现数值处理。
• 通过利用次梯度序关系，建立仅在区域内部成立的松弛比较原理。
• 修改Barles-Souganidis收敛框架以适应弱化的比较原理，并证明在L^p范数下（0 < p < ∞）的收敛性。
• 设计一种一致、单调的有限差分格式，保持凸性并处理非经典边界数据。
• 在具有不连续性、奇异性及未实现边界解的基准示例上实现并测试该格式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当解在边界处不连续且狄利克雷条件弱强制时，能否构造出预定高斯曲率方程的收敛有限差分格式？
• RQ2 尽管经典比较原理失效，粘性解在区域内部的Monge-Ampère方程是否仍满足比较原理？
• RQ3 Barles-Souganidis收敛框架应如何调整以处理弱边界条件和非经典解？
• RQ4 当精确解缺乏经典正则性或未实现边界条件时，单调格式在多大程度上收敛到正确的弱解？
• RQ5 该框架能否推广至其他具有非经典边界条件的全非线性椭圆方程？

主要发现

• 在区域内部存在松弛比较原理，即使经典比较原理失效，也能支持收敛性证明。
• 即使解不连续或梯度无界，单调有限差分格式在L^p范数下（0 < p < ∞）仍收敛于粘性解。
• 对于Lipschitz连续解，当网格从h=2⁻³细化至h=2⁻⁷时，L^∞误差由9.45×10⁻²降至3.18×10⁻²。
• 对于具有无界梯度的解，在相同网格细化过程中，L^∞误差由1.94×10⁻¹降至8.80×10⁻²，证实了收敛性。
• 在未实现边界数据情况下，L^∞收敛性因边界层而失效，但观察到L¹收敛，误差由2.12×10⁻¹降至9.53×10⁻²。
• 该框架可实现对不以经典意义满足狄利克雷数据的解的收敛，验证了其在高度不规则情形下的有效性。