[论文解读] Converse for Multi-Server Single-Message PIR with Side Information

Li Su, Michael Gastpar|arXiv (Cornell University)|Sep 26, 2018

Cryptography and Data Security参考文献 26被引用 13

一句话总结

本文確立了多伺服器單訊息私有資訊 Retrieval（PIR）在擁有邊際資訊下的資訊理論容量，證明了Kadhe等人所提出方案的可達率為最佳。透過引入虛擬邊際資訊之新概念，並利用查詢回應中的對稱性，作者推導出與已知可達方案相符的對消界限，從而得出容量為 $(1 + \frac{1}{N} + \frac{1}{N^2} + \dots + \frac{1}{N^{\lceil K/(M+1)\rceil - 1}})^{-1}$。

ABSTRACT

Multi-server single-message private information retrieval is studied in the presence of side information. In this problem, $K$ independent messages are replicatively stored at $N$ non-colluding servers. The user wants to privately download one message from the servers without revealing the index of the message to any of the servers, leveraging its $M$ side information messages. We assume that the servers only know the number of the side information messages available at the user but not their indices. We prove a converse bound on the maximum download rates, which coincides with the known achievability scheme proposed by Kadhe {\it et. al.}. Hence, we characterize the capacity for this problem, which is $(1+\frac{1}{N}+\frac{1}{N^2}+\dots+\frac{1}{N^{\left\lceil \frac{K}{M+1} ight ceil-1}})^{-1}$. The proof leverages a novel concept that we call {\it virtual side information}, which, for a fixed query and any message, identifies the side information that would be needed in order to recover that message.

研究动机与目标

• 在W-隱私條件下，釐清多伺服器單訊息私有資訊檢索（MSPIR-SI）在邊際資訊下的資訊理論容量。
• 透過推導對消界限，彌補已知可達方案與理論極限之間的差距。
• 引入並形式化虛擬邊際資訊的概念，作為對消證明中的關鍵工具。
• 證明Kadhe等人所提出的已知編碼方案在此問題中為最佳。

提出的方法

• 引入虛擬邊際資訊的概念：針對任一訊息與查詢，定義能從伺服器回應中恢復該訊息的邊際資訊集合。
• 證明在不失最佳性的情況下，PIR方案可限制於虛擬邊際資訊滿足特定對稱性之情形。
• 利用虛擬邊際資訊的對稱性，推導出下載速率的對消界限。
• 基於微熵不等式與伺服器回應結構，建立對消論證，顯示該界限與已知可達速率相符。
• 利用先前工作中的分區與編碼方案，具體實現最佳方案，確保隱私與可恢復性。
• 透過 $K=5$, $N=2$, $M=1$ 的範例驗證對消界限，顯示速率 $\frac{4}{7}$ 與理論容量相符。

实验结果

研究问题

• RQ1 當使用者擁有 $M$ 筆邊際資訊，而伺服器僅知 $M$ 但不知邊際資訊之索引時，多伺服器單訊息PIR的資訊理論容量為何？
• RQ2 能否利用資訊理論的對消方法，證明Kadhe等人所提出的已知可達方案為最佳？
• RQ3 虛擬邊際資訊的概念應如何形式化，並用於證明邊際資訊下PIR的最佳性？
• RQ4 容量表達式 $\left(1 + \frac{1}{N} + \frac{1}{N^2} + \dots + \frac{1}{N^{\lceil K/(M+1)\rceil - 1}}\right)^{-1}$ 是否代表真正的最大下載速率？
• RQ5 虛擬邊際資訊的對稱性是否可用來簡化並強化對消證明？

主要发现

• 在W-隱私條件下，MSPIR-SI的資訊理論容量確為 $\left(1 + \frac{1}{N} + \frac{1}{N^2} + \dots + \frac{1}{N^{\lceil K/(M+1)\rceil - 1}}\right)^{-1}$。
• 本文推導出的對消界限與Kadhe等人所提出編碼方案的可達速率相符，從而證明其最佳性。
• 虛擬邊際資訊的概念對證明至關重要，使其能推導出緊緻的對消界限。
• 當 $N=1$ 時，容量簡化為文獻[15]中單伺服器PIR在邊際資訊下的容量，驗證了一致性。
• 當 $M=0$ 時，容量簡化為文獻[4]中無邊際資訊之多伺服器PIR的容量，確認在特殊情況下的正確性。
• 透過 $K=5$, $N=2$, $M=1$ 的範例顯示，最佳速率 $\frac{4}{7}$ 可達成，與理論容量表達式相符。