[论文解读] Convolution identities for Tribonacci numbers with symmetric formulae

Takao Komatsu, Rusen Li|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2016

Advanced Mathematical Theories and Applications参考文献 2被引用 4

一句话总结

本文通过对称公式和指数生成函数，推导出三体数的卷积恒等式，利用三次方程 $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$ 的根，建立高阶恒等式。主要贡献在于将三体数乘积之和表示为具有显式初始值和归一化常数的高阶三体数列的线性组合。

ABSTRACT

Many kinds of convolution identities have been considered about several numbers, including Bernoulli, Euler, Genocchi, Cauchy, Stirling, and Fibonacci numbers. The well-known basic result about Bernoulli numbers is due to Euler. The convolution identities have been studied. In this paper, we give convolution identities for Tribonacci numbers without binomial coefficients and with binomial coefficients. Convolution identities of Fiboancci numbers or Lucas numbers can be expressed in the form of linear combinations of Fibonacci numbers and Lucas numbers only. Fibonacci numbers and Lucas numbers are in pairs with different values. Covolution identities of Tribonacci numbers can be expressed in the linear combination of several Tribonacci numbers with different values. Symmetric formulas are basic tools for these expressions.

研究动机与目标

• 将斐波那契数和卢卡斯数的卷积恒等式推广至遵循三阶递推关系的三体数。
• 开发适用于高阶线性递推关系的对称公式技术，特别是针对三体数列。
• 将三体数的卷积和表示为具有不同初始条件的其他三体数列类型的线性组合。
• 利用指数生成函数和特征三次方程的根，推导出高阶卷积恒等式的显式公式。

提出的方法

• 利用涉及三次方程 $x^3 - x^2 - x - 1 = 0$ 的根 $\alpha, \beta, \gamma$ 的三体数的比奈型公式。
• 将对称公式应用于形如 $\sum_{n=0}^\infty T_n^{(a,b,c)} \frac{x^n}{n!} = c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{\beta x} + c_3 e^{\gamma x}$ 的指数生成函数，其中 $c_i$ 为由根导出的系数。
• 通过将对称指数表达式的乘积与高阶三体数列的生成函数相等，推导出卷积恒等式。
• 运用多项式与对称和技巧，将类似 $\sum_{k_1+k_2+k_3=n} T_{k_1}T_{k_2}T_{k_3}$ 的和表示为具有新初始值的三体数列的线性组合。
• 利用系数 $s_{i,j}^{(n)}$ 和归一化常数 $A_i^{(n)}$ 的递推关系，确保各阶之间的一致性。
• 通过代数运算和根的性质，推导出 $T_k^{(a,b,c)}$（高阶三体数列）的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 三体数的卷积恒等式能否以类似于斐波那契数和卢卡斯数的对称形式表达？
• RQ2 如何系统地利用生成函数推导三体数的高阶卷积恒等式（例如三重积）？
• RQ3 表示三个或更多三体数乘积之和的线性组合具有何种结构？
• RQ4 能否从对称公式和根的性质显式计算高阶三体数列的归一化常数和初始值？

主要发现

• 当 $n=2$ 时，卷积恒等式给出 $s_{5,0}^{(2)} = 6$，$s_{5,1}^{(2)} = -6$，$s_{5,2}^{(2)} = 19$，且 $A_5^{(2)} = 22^2$，生成序列 $T_k^{(6,-6,19)}$。
• 当 $n=3$ 时，系数为 $s_{5,0}^{(3)} = -61$，$s_{5,1}^{(3)} = -75$，$s_{5,2}^{(3)} = 163$，且 $A_5^{(3)} = -22^3 \cdot 2$，生成序列 $T_k^{(-61,-75,163)}$。
• 当 $n=4$ 时，数值为 $s_{5,0}^{(4)} = -140$，$s_{5,1}^{(4)} = -425$，$s_{5,2}^{(4)} = 1098$，且 $A_5^{(4)} = 22^4 \cdot 2$，定义序列 $T_k^{(-140,-425,1098)}$。
• 当 $n=5$ 时，序列为 $T_k^{(-1189,-2567,6318)}$，其中 $A_5^{(5)} = -22^5 \cdot 2$，由 $s_{5,0}^{(5)} = -1189$，$s_{5,1}^{(5)} = -2567$，$s_{5,2}^{(5)} = 6318$ 推导得出。
• 当 $n=6$ 时，归一化常数为 $A_5^{(6)} = 22^6 \cdot 2^2$，其中 $s_{5,0}^{(6)} = -13019$，$s_{5,1}^{(6)} = -30411$，$s_{5,2}^{(6)} = 75841$，生成序列 $T_k^{(-13019,-30411,75841)}$。
• 对于 $n=1$，建立了恒等式 $\sum_{k=0}^\infty T_k^{(3,1,3)} \frac{x^k}{k!} = -22 \left( c_2c_3 + c_3c_1 + c_1c_2 \right)^{-1} (e^{\alpha x} + e^{\beta x} + e^{\gamma x})$，其中 $c_i$ 由根导出。