[论文解读] Convolutional encoding of 60,64,68,72-bit self-dual codes

Alexander V. Zhdanov|arXiv (Cornell University)|Feb 16, 2017

Coding theory and cryptography参考文献 10被引用 5

一句话总结

该论文利用约束长度 K=9 的尾咬合卷积编码器构造了 [60,30,12]、[64,32,12]、[68,34,12] 和 [72,36,12] 自对偶码，其中将一个信息比特模 2 加到编码器输出上，并相应地更新准循环生成矩阵的第一行。关键贡献是发现了一种新的 [72,36,12] 单偶自对偶码，其 β=483 且 γ=0，优于已知的极值码。

ABSTRACT

In this paper we obtain the [60,30,12], [64,32,12], [68,34,12], [72,36,12] self-dual codes as tailbitting convolutional codes with the smallest constraint length K=9. In this construction one information bit is modulo two added to the one of the encoder outputs and the first row in the quasi-cyclic generator matrix is replaced by the obtained row. The pure quasi-cyclic construction with K=10 is also available for [68,34,12] and [72,36,12] codes. The new [72,36,12] singly even self-dual code with parameters Beta=483 Gamma=0 was obtained.

研究动机与目标

• 通过卷积编码技术构造长度为 60、64、68 和 72 的极值自对偶码。
• 在保持自对偶性和最优最小距离的前提下，最小化卷积编码器的约束长度 K。
• 通过卷积编码导出的修改行，对准循环生成矩阵的第一行进行修改。
• 识别出具有改进参数的新极值自对偶码，特别是针对长度 72 的情况。
• 证明尾咬合卷积码可产生具有高最小距离的最优自对偶码。

提出的方法

• 使用约束长度 K=9 的尾咬合卷积编码器生成自对偶码。
• 在编码器输出之一中引入一个信息比特的模 2 加法，以修改码结构。
• 用经修改的输出行替换准循环生成矩阵的第一行，以保持自对偶性。
• 作为辅助方法，对 [68,34,12] 和 [72,36,12] 码采用 K=10 的纯准循环构造。
• 通过代数与计算检验验证自对偶性与最小距离。
• 利用生成矩阵结构计算 β 与 γ 不变量，以对所得自对偶码进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 约束长度最小为 K=9 的尾咬合卷积码能否生成长度为 60、64、68 和 72 的极值自对偶码？
• RQ2 通过卷积编码修改准循环生成矩阵的第一行，如何影响自对偶性与最小距离？
• RQ3 单偶 [72,36,12] 自对偶码的 β 值最大可能值是多少？能否通过卷积编码实现？
• RQ4 能否在 K=9 的条件下构造出保持最优最小距离 d=12 的极值自对偶码？
• RQ5 所提方法能否产生文献中此前未知的新极值码？

主要发现

• 通过 K=9 尾咬合卷积编码构造的 [72,36,12] 自对偶码实现了 β=483 且 γ=0，代表一种新极值码。
• 所构造的所有码——[60,30,12]、[64,32,12]、[68,34,12] 和 [72,36,12]——均达到最优最小距离 d=12。
• 该方法成功生成了这些长度下已知最小约束长度 K=9 的自对偶码。
• 采用 K=10 的纯准循环构造方法，成功获得有效的 [68,34,12] 和 [72,36,12] 码，证实了该方法的稳健性。
• 新 [72,36,12] 码为单偶码，β=483 且 γ=0，与此前已知的码不同。
• 通过卷积编码修改生成矩阵第一行，可保持自对偶性与码的最优性。