[论文解读] Counting triangles in power-law uniform random graphs

Pu Gao, Remco van der Hofstad+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Complex Network Analysis Techniques参考文献 16被引用 9

一句话总结

该论文推导了在度指数 τ ∈ (2,3) 的稀疏均匀随机图中，具有幂律度分布的三角形数量的渐近结果。通过切换方法及对度数与 √n 成比例的顶点的分析，表明三角形数量在概率上收敛于常数，且均匀随机图中的三角形数量多于删去配置模型中的数量，同时局部聚类系数 c(k) 在不同度数范围 k 内表现出不同的标度行为。

ABSTRACT

We count the asymptotic number of triangles in uniform random graphs where the degree distribution follows a power law with degree exponent $τ\in(2,3)$. We also analyze the local clustering coefficient $c(k)$, the probability that two random neighbors of a vertex of degree $k$ are connected. We find that the number of triangles, as well as the local clustering coefficient, scale similarly as in the erased configuration model, where all self-loops and multiple edges of the configuration model are removed. Interestingly, uniform random graphs contain more triangles than erased configuration models with the same degree sequence. The number of triangles in uniform random graphs is closely related to that in a version of the rank-1 inhomogeneous random graph, where all vertices are equipped with weights, and the edge probabilities are moderated by asymptotically linear functions of the products of these vertex weights.

研究动机与目标

• 推导在度指数 τ ∈ (2,3) 的均匀随机图中，具有幂律度序列的三角形数量的渐近结果。
• 分析局部聚类系数 c(k)，其定义为：一个度数为 k 的顶点的两个邻居之间相连的概率。
• 比较均匀随机图与删去配置模型及秩-1非齐次随机图中的三角形数量。
• 识别对三角形计数贡献最大的顶点度数，即度数与 √n 成比例的顶点。

提出的方法

• 对度数与 √n 成比例的顶点应用切换方法，以计数其间的三角形，这些顶点在稀疏情形下主导了三角形总数。
• 使用渐近计数技术与测度论分析，估计均匀随机图模型中的边概率与聚类特性。
• 通过条件化于一个度数为 k 的顶点，计算其两个邻居相连的概率，分析局部聚类系数 c(k)。
• 通过分析不同度数范围的贡献，证明归一化三角形数量在概率上收敛于常数。
• 将广义随机图模型用作代理模型以理解三角形行为，表明其与均匀模型具有相同的渐近标度。
• 在积分表达式中取 ε ↓ 0 的极限，推导出 c(k) 在四个不同度数范围内的精确渐近常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 在度指数 τ ∈ (2,3) 的均匀随机图中，三角形数量如何随图规模渐近缩放？
• RQ2 在这些图中，局部聚类系数 c(k) 作为顶点度数 k 的函数如何表现？
• RQ3 为何均匀随机图中的三角形数量多于具有相同度序列的删去配置模型？
• RQ4 对三角形计数的主导贡献来自何种度数的顶点？哪一范围的度数主导了渐近行为？
• RQ5 与广义随机图模型相比，本研究结果如何，特别是在三角形与聚类行为方面？

主要发现

• 在度指数 τ ∈ (2,3) 的均匀随机图中，归一化三角形数量在概率上收敛于常数，主要贡献来自度数与 √n 成比例的顶点。
• 对于小 k（范围 I），局部聚类系数 c(k) 渐近独立于 k；对于中等 k（范围 II），c(k) 随 k 缓慢衰减；对于大 k（范围 IV），c(k) 按 k 的幂律衰减。
• 具有相同度序列的均匀随机图中的三角形数量多于删去配置模型，这与常见假设（二者渐近等价）相矛盾。
• 三角形计数的渐近常数依赖于 τ 和度序列参数，通过涉及函数 A(ε) 及其极限 A = π / sin(πτ) 的积分极限，得到了显式表达式。
• 对于范围 IV 中的 k（k = Θ(n^{1/(τ−1)})），局部聚类系数 c(k) 按 k^{3−2τ} 乘以常数缩放，表现出幂律衰减。
• 分析结果证实，尽管在度序列实现方式上存在差异，广义随机图模型仍能捕捉到与均匀随机图模型相同的渐近三角形行为。