[论文解读] Covers of the projective line and the moduli space of quadratic differentials

Dawei Chen|arXiv (Cornell University)|May 18, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文研究了参数化在射影直线上的四点分支覆盖的1维Hurwitz空间，推导出这些空间的斜率公式，并将其应用于循环覆盖。它建立了Hurwitz空间的斜率、Lyapunov指数之和与二次微分的Siegel-Veech常数之间的精确关系，恢复了已知结果，并为模曲线空间上有效除子的斜率提供了新的渐近下界，当亏格增大时成立。

ABSTRACT

Consider the 1-dimensional Hurwitz space parameterizing covers of P^1 branched at four points. We study its intersection with divisor classes on the moduli space of curves. As an application, we calculate the slope of the Teichmuller curve parameterizing square-tiled cyclic covers and recover the sum of its Lyapunov exponents obtained by Forni, Matheus and Zorich. Motivated by the work of Eskin, Kontsevich and Zorich, we exhibit a relation among the slope of Hurwitz spaces, the sum of Lyapunov exponents and the Siegel-Veech constant for the moduli space of quadratic differentials.

研究动机与目标

• 分析1维Hurwitz空间与稳定曲线模空间上除子类的交点。
• 推导出参数化P1上四点分支覆盖（任意分支类型）的Hurwitz空间的一般斜率公式。
• 将斜率公式应用于循环覆盖，并恢复Forni、Matheus与Zorich先前计算的Lyapunov指数之和。
• 在二次微分的模空间中，建立Hurwitz空间的斜率、Lyapunov指数之和与Siegel-Veech常数之间的新关系。
• 为当g → ∞时模曲线空间上有效除子的斜率提供渐近下界。

提出的方法

• 使用Riemann-Hurwitz公式，计算在P1上四点处具有固定分支类型c = (c1, c2, c3, c4)的连通覆盖的亏格g。
• 通过沿P1移动一个分支点p4构造1维Hurwitz空间H_d(c)，其紧化H̄_d(c)参数化可接受覆盖。
• 利用单值性数据(γ1, γ2, γ3, γ4) ∈ Hom(π1(P1 − {p1,p2,p3,p4}), S_d)通过S_d中的共轭类对覆盖进行分类（模同构）。
• 引入不变量δ_d,ν作为平方铺瓷砖循环覆盖退化中所有轨道的节点权重之和，并定义极限c_ν = lim_{d→∞} δ_d,ν / (6N_d,ν)。
• 推导关键关系式s_ν = 12c_ν / L_ν，其中s_ν是H̄_d(c_ν)的极限斜率，c_ν是Siegel-Veech常数，L_ν = κ_ν + c_ν是Lyapunov指数之和。
• 利用典范双覆盖构造，将二次微分的strata与阿贝尔微分的strata联系起来，利用Siegel-Veech常数在阿贝尔微分模空间中已知的渐近行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 参数化P1上四点分支循环覆盖的Hurwitz空间的斜率是什么？
• RQ2 在二次微分的模空间中，Hurwitz空间的斜率、Lyapunov指数之和与Siegel-Veech常数之间有何关系？
• RQ3 当g → ∞时，M̄_g上有效除子的斜率可以得到哪些渐近下界？
• RQ4 平方铺瓷砖循环覆盖的退化如何与加权节点计数及Siegel-Veech常数相关？
• RQ5 当g → ∞时，对于将4g−4分解为奇数部分的分拆ν，Siegel-Veech常数c_ν的极限行为如何？

主要发现

• 对于循环覆盖，Hurwitz空间H̄_d(c_ν)的斜率在d → ∞时收敛于s_ν = 12c_ν / L_ν，其中L_ν是Lyapunov指数之和，c_ν是Siegel-Veech常数。
• 通过斜率公式恢复了平方铺瓷砖循环覆盖的Teichmüller曲线的Lyapunov指数之和，确认了Forni、Matheus与Zorich的早期结果。
• 当g → ∞时，基于阿贝尔微分模空间中相关strata的渐近行为，推测Siegel-Veech常数c_ν趋近于1。
• 推导出M̄_g上有效除子斜率的新渐近下界：当g较大时，s ∼ 432/(7g)，该下界在ν = (1, ..., 1, 3g−3)（共g个部分）时达到。
• 该下界s ∼ 432/(7g)略差于先前已知的∼576/(5g)下界，但其推导基于将斜率、Lyapunov指数之和与Siegel-Veech常数联系起来的一般框架。
• 本文证实，所有已知的M̄_g上有效除子的斜率均大于6，而目前已知的斜率下界随g增大呈O(1/g)衰减，凸显了理解M̄_g有效锥的开放性问题。