[论文解读] Critical growth fractional elliptic problem with singular nonlinearities

Tuhina Mukherjee, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 15

一句话总结

本文研究了带有临界增长和奇异非线性项的分数阶椭圆方程在分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^s$ 下正解的存在性与多重性。通过变分方法和 Nehari 流 manifold 的分析，作者在权重函数 $a(x)$ 和指数 $q \in (0,1]$ 满足适当条件时，证明了当 $\lambda > 0$ 足够小时，至少存在两个正解。即使在 $q=1$ 的情况下，结果也是全新的。主要贡献在于：在纤维化映射上存在两个临界点的 $\lambda$ 的最大范围中，获得了精确的多重性结果。

ABSTRACT

In this article, we study the following fractional Laplacian equation with critical growth and singular nonlinearity $$\quad (-Δ)^s u = λa(x) u^{-q} + u^{2^*_s-1}, \quad u>0 \; ext{in}\; Ω,\quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mathbb{R}^n \setminusΩ,$$ where $Ω$ is a bounded domain in $\mathbb{R}^n$ with smooth boundary $\partial Ω$, $n > 2s,\; s \in (0,1),\; λ>0,\; 0 < q \leq 1 $, $θ\leq a(x) \in L^\infty(Ω)$, for some $θ>0$ and $2^*_s=\frac{2n}{n-2s}$. We use variational methods to show the existence and multiplicity of positive solutions of the above problem with respect to the parameter $λ$.

研究动机与目标

• 研究带有奇异非线性项 $\lambda a(x)u^{-q}$ 和临界增长项 $u^{2^*_s-1}$ 的分数阶椭圆问题的正解存在性与多重性。
• 将变分技术扩展至分数阶拉普拉斯算子的非局部设定，包含奇异项与临界项。
• 通过分析 Nehari 流 manifold 和纤维化映射的结构，建立精确的多重性结果。
• 证明解的正则性，表明 $u \in L^\infty(\Omega)$ 且 $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ 对某个 $\alpha \in (0,s]$ 成立。
• 为分数阶设定下具有奇点的临界增长问题提供完整的存在性与多重性框架，填补了文献中的空白。

提出的方法

• 在分数阶索博列夫空间 $X_0$ 中表述问题，配备范数 $\|u\|_{X_0} = \|u\|_{L^2(\Omega)} + [u]_X$，其中 $[u]_X$ 为 Gagliardo 半范数。
• 定义能量泛函 $J(u) = \frac{1}{2}\|u\|_{X_0}^2 - \frac{\lambda}{1-q}\int_\Omega a(x)u^{1-q}dx - \frac{1}{2^*_s}\int_\Omega u^{2^*_s}dx$（当 $q \in (0,1)$ 时），并利用其研究弱解的临界点理论。
• 分析 Nehari 流 manifold $\mathcal{N}_\lambda = \{u \in X_0 \setminus \{0\} : \langle J'(u), u \rangle = 0\}$ 以识别能量泛函的临界点。
• 通过纤维化映射分析表明：当 $\lambda$ 足够小时，纤维化映射具有两个不同的临界点，从而推出两个不同的解。
• 应用一致估计与 Moser 迭代技术，证明解的 $L^\infty$ 正则性，从而得出 $u \in L^\infty(\Omega)$。
• 利用文献 [22] 中的定理与覆盖论证，建立局部 Hölder 正则性 $u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$，其中 $\alpha \in (0,s]$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种 $\lambda$ 条件下，带有奇异与临界非线性项的分数阶椭圆问题至少存在两个正解？
• RQ2 Nehari 流 manifold 与纤维化映射的结构如何决定临界增长情形下的解的多重性？
• RQ3 在局部情形中使用的变分方法能否推广到含奇异项的非局部分数阶拉普拉斯算子情形？
• RQ4 多个解存在的最优 $\lambda$ 范围是什么？该范围是否是精确的？
• RQ5 在奇异-临界设定下，弱解具有哪些正则性性质（如 $L^\infty$、Hölder 连续性）？

主要发现

• 当 $\lambda > 0$ 足够小时，问题至少存在两个不同的正弱解，该结果通过 Nehari 流 manifold 和纤维化映射分析得到证实。
• 多重性结果是精确的：在纤维化映射上存在两个临界点的 $\lambda$ 范围是最大的。
• 解属于 $L^\infty(\Omega)$，通过 Moser 迭代与截断测试函数的一致估计得到证明。
• 解是局部 Hölder 连续的：$u \in C^{\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$，其中 $\alpha \in (0,s]$。
• 即使在 $q = 1$ 的情况下，结果也是全新的，将已知的局部结果推广到了非局部分数阶设定。
• 在 Nehari 流 manifold 上存在极小化子，这对证明解的多重性至关重要。