[论文解读] Crossed modules and quantum groups in braided categories

Yu . N. Bespalov|ArXiv.org|Oct 12, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 20被引用 12

一句话总结

本文在辫子范畴中引入了霍普夫代数上的交叉模，建立了其范畴作为辫子双重构造。该研究将马吉德的玻色化和拉德福德定理推广至辫子设定，通过在霍普夫代数在辫子范畴中的模的双重范畴中的全子范畴嵌入，将量子辫子群与交叉模联系起来。

ABSTRACT

Let $A$ be a Hopf algebra in a braided category $\cal C$. Crossed modules over $A$ are introduced and studied as objects with both module and comodule structures satisfying a compatibility condition. The category $\DY{\cal C}^A_A$ of crossed modules is braided and is a concrete realization of a known general construction of a double or center of a monoidal category. For a quantum braided group $(A,\overline A,{\cal R})$ the corresponding braided category of modules ${\cal C}_{\cO{A,\overline A}}$ is identified with a full subcategory in $\DY{\cal C}_A^A$. The connection with cross products is discussed and a suitable cross product in the class of quantum braided groups is built. Majid--Radford theorem, which gives equivalent conditions for an ordinary Hopf algebra to be such a cross product, is generalized to the braided category. Majid's bosonization theorem is also generalized.

研究动机与目标

• 定义并研究在辫子范畴中的霍普夫代数上的交叉模，统一模与余模结构，并满足相容性条件。
• 证明交叉模的范畴构成一个辫子范畴，并实现单一路德范畴的双重或中心构造。
• 将量子辫子群上的模的范畴识别为交叉模的双重范畴的一个全子范畴。
• 将马吉德–拉德福德关于交叉积的定理推广至辫子范畴的设定。
• 将马吉德的玻色化定理扩展至辫子范畴中的量子辫子群背景。

提出的方法

• 在辫子范畴 $ \tc $ 中引入霍普夫代数 $ A $ 上的交叉模概念，定义为具有相容 $ A $-模与 $ A $-余模结构的对象。
• 构造交叉模的范畴 $ \text{DY}^A_A(\tc) $，并证明其为辫子范畴，实现 $ A $-模范畴的中心。
• 在量子辫子群 $ (A, \bar{A}, \tR) $ 上的模的范畴与 $ \text{DY}^A_A(\tc) $ 的一个全子范畴之间建立范畴等价。
• 在量子辫子群类中定义交叉积构造，推广经典霍普夫代数的交叉积。
• 将理论应用于推广马吉德–拉德福德定理，表明在辫子范畴中的霍普夫代数是交叉积，当且仅当其满足特定的结构条件。
• 将马吉德的玻色化构造扩展至辫子设定，表明量子辫子群可作为辫子霍普夫代数在范畴中心的玻色化实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 在辫子范畴的背景下，如何定义和分类交叉模？
• RQ2 在辫子范畴中，霍普夫代数上的交叉模范畴具有何种范畴结构？
• RQ3 量子辫子群上的模的范畴与交叉模的范畴之间有何关系？
• RQ4 经典马吉德–拉德福德交叉积定理能否推广至辫子范畴？
• RQ5 如何将马吉德的玻色化构造推广至辫子范畴中的量子辫子群？

主要发现

• 在辫子范畴 $ \tc $ 中，霍普夫代数 $ A $ 上的交叉模范畴 $ \text{DY}^A_A(\tc) $ 是一个辫子范畴，并实现了 $ A $-模范畴的中心。
• 量子辫子群 $ (A, \bar{A}, \tR) $ 上的模的范畴与 $ \text{DY}^A_A(\tc) $ 的一个全子范畴等价，建立了量子群与交叉模之间的范畴联系。
• 在量子辫子群类中定义了广义的交叉积构造，将经典构造推广至辫子设定。
• 马吉德–拉德福德定理被推广：在辫子范畴中的霍普夫代数是交叉积，当且仅当其可分解为一个辫子霍普夫代数与一个对偶对象。
• 马吉德的玻色化定理被扩展至辫子范畴设定，表明量子辫子群作为辫子霍普夫代数在范畴中心的玻色化实现。
• 本文为通过交叉模及其双重构造理解辫子范畴中的量子群，提供了完整的范畴框架。